Зачем Гомперц, если есть логистика?

Клинические кривые часто асимметричны: долгое замедление у максимума. Гомперц даёт то же плато K, но другую форму временного ряда — удобно сравнить на одном графике.

Что означает член −kV?

Мгновенная гибель доли клеток, пропорциональной V, — схематичная цитотоксическая терапия без концентрации препарата и фаз клеточного цикла.

Зачем две траектории?

Пунктир — рост без лечения при тех же r, K, V(0). Зелёная — с k после t_start; расхождение показывает только эффект терапии.

Может ли V стать отрицательным?

После шага РК4 объём ограничивают снизу малым положительным числом. Сильная химиотерапия на графике — почти полное обнуление в учебном смысле, не клинический прогноз.

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

V(t)→K: Гомперц или логистика; химиотерапия −kV; РК4, сравнение с кривой без лечения.

Рост опухоли и химиотерапия

Закон роста

r (скорость роста)0.32

K (плато / ёмкость)100

V(0) начальный объём4

Химиотерапия (−kV)

k (скорость гибели)0.22

Старт химии при t6

Гомперц дольше подходит к K; логистика симметрична. −kV — пропорциональное убийство. Пунктир — тот же рост без лечения.

Горячие клавиши

Пробел или Enter — пуск / пауза
R — сброс

Измеренные величины

V (с лечением)4.00

V (без лечения)4.00

время t0.00

V / K0.040

О модели

Объём опухоли V(t) выходит на плато K. Два закона роста: логистический V′ = rV(1−V/K) (симметричная S-кривая) и закон Гомперца V′ = rV ln(K/V) (быстрый рост при малых V и длинный хвост у K — часто в онкологии). Химиотерапия — простейший член −kV (гибель первого порядка, пропорциональная объёму), включается с момента t_start. Зелёная кривая — с лечением, пунктир — та же модель без k, интегрируется параллельно. Метод РК4; линия K, вертикаль — старт химиотерапии. Нет пространства, иммунитета, резистентности и режимов доз.

Для кого: Математическая биология и введение в фармакодинамику: сравнение Гомперца и логистики, линейная гибель −kV.

Ключевые понятия

рост по Гомперцу
логистический рост
объём опухоли
ёмкость среды K
химиотерапия
кинетика первого порядка
метод Рунге–Кутты

Как это работает

Объём опухоли V(t) стремится к K. Логистика: V′ = rV(1−V/K); Гомперц: V′ = rV ln(K/V) — асимметричное плато. Химиотерапия: −kV после t_start (гибель первого порядка). Пунктир — рост без лечения при тех же параметрах. РК4; линия K; две кривые на одном графике.

Основные формулы

Логистика: V' = rV(1−V/K) − kV · Гомперц: V' = rV ln(K/V) − kV

Часто задаваемые вопросы

Зачем Гомперц, если есть логистика?: Клинические кривые часто асимметричны: долгое замедление у максимума. Гомперц даёт то же плато K, но другую форму временного ряда — удобно сравнить на одном графике.
Что означает член −kV?: Мгновенная гибель доли клеток, пропорциональной V, — схематичная цитотоксическая терапия без концентрации препарата и фаз клеточного цикла.
Зачем две траектории?: Пунктир — рост без лечения при тех же r, K, V(0). Зелёная — с k после t_start; расхождение показывает только эффект терапии.
Может ли V стать отрицательным?: После шага РК4 объём ограничивают снизу малым положительным числом. Сильная химиотерапия на графике — почти полное обнуление в учебном смысле, не клинический прогноз.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеШкольные