Зачем Гомперц, если есть логистика?

Клинические кривые роста часто асимметричны: долгое замедление у максимума. Гомперц даёт тот же плато **K**, но другую форму временного ряда — удобно сравнить на одном графике.

Что означает −kV?

Мгновенная гибель доли клеток, пропорциональной **V** — карикатура цитотоксической терапии без концентрации препарата и фаз клеточного цикла.

Зачем две траектории?

Пунктир — рост без лечения при тех же **r, K, V(0)**. Зелёная — с **k** после **t_start**; расхождение показывает только эффект терапии.

Может ли V стать отрицательным?

После шага RK4 **V** ограничивается снизу малым положительным числом. Сильная химиотерапия на графике — почти полное «обнуление» в учебном смысле, не клинический прогноз.

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Симулятор описывает объём опухоли V(t) с выходом на плато K. Два закона роста: логистический V′ = rV(1−V/K) (симметричная S-кривая) и Гомперца V′ = rV ln(K/V) (часто в онкологии — быстрый рост при малых V и длинный «хвост» у K). Химиотерапия — простейший стерилизатор: член −kV (убийство первого порядка, пропорционально объёму), включается с момента t_start. Зелёная кривая — с лечением, пунктир — та же модель без k, интегрируется параллельно. RK4; линия K, вертикаль — старт химиотерапии. Нет пространства, иммунитета, резистентности и режимов доз — учебная модель.

Для кого: Студенты математической биологии и введения в фармакодинамику опухолей; сравнение Гомперца и логистики и эффекта линейного kill.

Ключевые понятия

Рост по Гомперцу
Логистический рост
Объём опухоли
Ёмкость / плато K
Скорость гибели при химиотерапии
Кинетика первого порядка
Плато роста
Интегрирование Рунге–Кутты

Рост опухоли и химиотерапия

Закон роста

r (скорость роста)0.32

K (плато / ёмкость)100

V(0) начальный объём4

Химиотерапия (−kV)

k (скорость гибели)0.22

Старт химии при t6

Гомперц дольше подходит к K; логистика симметрична. −kV — пропорциональное убийство. Пунктир — тот же рост без лечения.

Горячие клавиши

Пробел или Enter — пуск / пауза
R — сброс

Измеренные величины

V (с лечением)4.00

V (без лечения)4.00

время t0.00

V / K0.040

Как это работает

Объём опухоли V(t) стремится к K. Логистика: V′ = rV(1−V/K); Гомперц: V′ = rV ln(K/V) — асимметричное плато. Химиотерапия: −kV после t_start (стерилизация первого порядка). Пунктир — рост без лечения при тех же параметрах. RK4; линия K; сравнение кривых на одном графике.

Основные формулы

Логистика: V' = rV(1−V/K) − kV · Гомперц: V' = rV ln(K/V) − kV

Часто задаваемые вопросы

Зачем Гомперц, если есть логистика?: Клинические кривые роста часто асимметричны: долгое замедление у максимума. Гомперц даёт тот же плато K, но другую форму временного ряда — удобно сравнить на одном графике.
Что означает −kV?: Мгновенная гибель доли клеток, пропорциональной V — карикатура цитотоксической терапии без концентрации препарата и фаз клеточного цикла.
Зачем две траектории?: Пунктир — рост без лечения при тех же r, K, V(0). Зелёная — с k после t_start; расхождение показывает только эффект терапии.
Может ли V стать отрицательным?: После шага RK4 V ограничивается снизу малым положительным числом. Сильная химиотерапия на графике — почти полное «обнуление» в учебном смысле, не клинический прогноз.