Почему ℛ₀ всё ещё β/γ при наличии E?

В показанных уравнениях из **E** есть только один выход — переход в **I** с интенсивностью **σ**. Поэтому каждый заражённый в итоге становится заразным и проводит в **I** среднее время **1/γ**; при **S≈1** ожидаемое число вторичных случаев равно **β/γ**. Малое **σ** откладывает вспышку, но не убирает случаи из цепочки.

Как **E** меняет кривую вспышки?

**I** питается из **E**, а не напрямую из новых заражений, поэтому рост **I(t)** запаздывает — пик инфекционных обычно сдвигается вправо по времени по сравнению с SIR при сопоставимом **ℛ₀**.

Зачем режим SEIRS и параметр ω?

При **ω > 0** перенесшие снова становятся восприимчивыми; простая картина «одна волна и стадный иммунитет навсегда» не работает. Пунктир **1 − 1/ℛ₀** в SEIRS скрыт, так как порог рассчитан на постоянный иммунитет.

Зачем перенормировать S + E + I + R после шага RK4?

Численная интеграция даёт малый дрейф суммы долей; деление на сумму удерживает состояние на симплексе (доли населения) без заметного искажения динамики при используемом шаге.

SEIR / SEIRS — эпидемия

S + E + I + R = 1: латентность σE задерживает заразность, выздоровление γI; опционально ωR → S; ℛ₀ = β/γ; график RK4.

Параметры (нормировка N = 1)

Модель

β (передача)0.55

σ (латентные → заразные)0.35

γ (выздоровление)0.2

E(0) — контактные0.01

I(0) — заразные0.004

R(0) — иммунитет / перенесшие0

Компартмент E сдвигает пик вспышки; ℛ₀ = β/γ, так как из E нет потерь кроме перехода в I. В SEIRS при ω > 0 возможны повторные волны; пунктир 1 − 1/ℛ₀ — только для SEIR.

Горячие клавиши

Пробел или Enter — пуск / пауза
R — сброс временного ряда

Измеренные величины

S (сейчас)0.986

E (сейчас)0.010

I (сейчас)0.004

R (сейчас)0.000

ℛ₀ = β/γ2.750

Стад ≈ 1 − 1/ℛ₀0.636

Средний латентный 1/σ2.9 сут

Средний заразный 1/γ5.0 сут

О модели

Модель SEIR расширяет SIR, вводя компартмент E (контактные, ещё не заразные): заражённые попадают в E, затем с интенсивностью σ переходят в I (заразные), выздоровление γ I → R. Нормировка S + E + I + R = 1, заражение β S I. Вариант SEIRS добавляет потерю иммунитета ω R → S (члены ω R в S′ и −ω R в R′), что может давать эндемику или повторные волны. В этой версии у E нет потерь кроме перехода в I, поэтому базовое число воспроизведения ℛ₀ = β/γ: σ меняет задержку и форму пика, но не порог вторжения. Интегрирование RK4, перенормировка после шага, графики S, E, I, R, метка пика I, пунктир 1 − 1/ℛ₀ только в режиме SEIR (ω = 0). Ползунки: β, σ, γ, ω, режим, E(0), I(0), R(0). Как и для SIR, нет рождений/смертей, сезонности, пространства и стохастики — учебная модель латентности и ослабления иммунитета.

Для кого: Студенты математической эпидемиологии и курсов ОДУ, уже знакомые с SIR и изучающие латентный период и повторные вспышки при ω > 0.

Ключевые понятия

Модель SEIR
Модель SEIRS
Латентный период
Компартмент E (контактные)
Ослабление иммунитета (ω)
Базовое число воспроизведения (ℛ₀)
Интегрирование Рунге–Кутты
Компартментные ОДУ

Как это работает

SEIR добавляет контактных E (латентных): заражение βSI ведёт в E, переход σE → I, выздоровление γI → R. В этой версии из E нет потерь кроме перехода в I, поэтому ℛ₀ = β/γ, а σ задаёт задержку пика. SEIRS возвращает восприимчивых потоком ωR → S, что может поддерживать эндемию или волны. Интегратор RK4 с перенормировкой S+E+I+R; на графике четыре доли и пик I(t).

Основные формулы

S' = −βSI + ωR · E' = βSI − σE · I' = σE − γI · R' = γI − ωR

Часто задаваемые вопросы

Почему ℛ₀ всё ещё β/γ при наличии E?: В показанных уравнениях из E есть только один выход — переход в I с интенсивностью σ. Поэтому каждый заражённый в итоге становится заразным и проводит в I среднее время 1/γ; при S≈1 ожидаемое число вторичных случаев равно β/γ. Малое σ откладывает вспышку, но не убирает случаи из цепочки.
Как **E** меняет кривую вспышки?: I питается из E, а не напрямую из новых заражений, поэтому рост I(t) запаздывает — пик инфекционных обычно сдвигается вправо по времени по сравнению с SIR при сопоставимом ℛ₀.
Зачем режим SEIRS и параметр ω?: При ω > 0 перенесшие снова становятся восприимчивыми; простая картина «одна волна и стадный иммунитет навсегда» не работает. Пунктир 1 − 1/ℛ₀ в SEIRS скрыт, так как порог рассчитан на постоянный иммунитет.
Зачем перенормировать S + E + I + R после шага RK4?: Численная интеграция даёт малый дрейф суммы долей; деление на сумму удерживает состояние на симплексе (доли населения) без заметного искажения динамики при используемом шаге.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеШкольные

SIR-модель эпидемии

Запустить симулятор

S + I + R = 1: βSI и γI; ℛ₀ ≈ β/γ, порог стада 1 − 1/ℛ₀; график по времени RK4.

НовоеУниверситет / научные

Эйлер и РК4 (Маятник)

Запустить симулятор

Одно и то же нелинейное уравнение маятника и шаг h; прямое сравнение методов Эйлера и РК4.

НовоеШкольные

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Запустить симулятор

V(t)→K: Гомперц или логистика; химиотерапия −kV; RK4, сравнение с кривой без лечения.

НовоеШкольные

Лотка–Вольтерра

Запустить симулятор

N′ = αN−βNP, P′ = δNP−γP; фазовая плоскость RK4; точка равновесия.

НовоеУниверситет / научные

Области устойчивости Рунге–Кутты

Запустить симулятор

Абсолютная устойчивость в плоскости z = hλ для явного Эйлера, RK2 и RK4: двигайте λ и h, сравнивайте |R(z)| и смотрите, почему жёсткие моды требуют малых явных шагов.

НовоеУниверситет / научные

Rössler Attractor

Запустить симулятор

RK4 integration of ẋ=−y−z, ẏ=x+ay, ż=b+z(x−c); period-doubling cascade as c grows.

SEIR / SEIRS — эпидемия

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

SIR-модель эпидемии

Эйлер и РК4 (Маятник)

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Лотка–Вольтерра

Области устойчивости Рунге–Кутты

Rössler Attractor

SEIR / SEIRS — эпидемия

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы