Модель SEIR расширяет SIR, вводя компартмент E (контактные, ещё не заразные): заражённые попадают в E, затем с интенсивностью σ переходят в I (заразные), выздоровление γ I → R. Нормировка S + E + I + R = 1, заражение β S I. Вариант SEIRS добавляет потерю иммунитета ω R → S (члены ω R в S′ и −ω R в R′), что может давать эндемику или повторные волны. В этой версии у E нет потерь кроме перехода в I, поэтому базовое число воспроизведения ℛ₀ = β/γ: σ меняет задержку и форму пика, но не порог вторжения. Интегрирование RK4, перенормировка после шага, графики S, E, I, R, метка пика I, пунктир 1 − 1/ℛ₀ только в режиме SEIR (ω = 0). Ползунки: β, σ, γ, ω, режим, E(0), I(0), R(0). Как и для SIR, нет рождений/смертей, сезонности, пространства и стохастики — учебная модель латентности и ослабления иммунитета.
Для кого: Студенты математической эпидемиологии и курсов ОДУ, уже знакомые с SIR и изучающие латентный период и повторные вспышки при ω > 0.
Ключевые понятия
Модель SEIR
Модель SEIRS
Латентный период
Компартмент E (контактные)
Ослабление иммунитета (ω)
Базовое число воспроизведения (ℛ₀)
Интегрирование Рунге–Кутты
Компартментные ОДУ
Как это работает
SEIR добавляет контактных E (латентных): заражение βSI ведёт в E, переход σE → I, выздоровление γI → R. В этой версии из E нет потерь кроме перехода в I, поэтому ℛ₀ = β/γ, а σ задаёт задержку пика. SEIRS возвращает восприимчивых потоком ωR → S, что может поддерживать эндемию или волны. Интегратор RK4 с перенормировкой S+E+I+R; на графике четыре доли и пик I(t).
В показанных уравнениях из E есть только один выход — переход в I с интенсивностью σ. Поэтому каждый заражённый в итоге становится заразным и проводит в I среднее время 1/γ; при S≈1 ожидаемое число вторичных случаев равно β/γ. Малое σ откладывает вспышку, но не убирает случаи из цепочки.
Как **E** меняет кривую вспышки?
I питается из E, а не напрямую из новых заражений, поэтому рост I(t) запаздывает — пик инфекционных обычно сдвигается вправо по времени по сравнению с SIR при сопоставимом ℛ₀.
Зачем режим SEIRS и параметр ω?
При ω > 0 перенесшие снова становятся восприимчивыми; простая картина «одна волна и стадный иммунитет навсегда» не работает. Пунктир 1 − 1/ℛ₀ в SEIRS скрыт, так как порог рассчитан на постоянный иммунитет.
Зачем перенормировать S + E + I + R после шага RK4?
Численная интеграция даёт малый дрейф суммы долей; деление на сумму удерживает состояние на симплексе (доли населения) без заметного искажения динамики при используемом шаге.