Почему здесь ℛ₀ = β/γ?

В SIR с массовым действием βSI и выздоровлением γI в начале вспышки при S ≈ 1 один инфицированный перестаёт быть заразным с интенсивностью γ и создаёт новых с интенсивностью βS ≈ β. Отношение β/γ и есть ℛ₀. При ℛ₀ ≤ 1 детерминированная вспышка от малой доли не нарастает.

Что означает пунктир на уровне 1 − 1/ℛ₀?

Учебный ориентир: какая доля иммунных в однородной модели нужна, чтобы эффективное ℛ упало ниже единицы. Для реальной политики это не прогноз: смешение неоднородно, иммунитет может ослабевать, вакцинация распределена неравномерно.

Зачем сбрасывать ряд после смены β, γ или начальных условий?

Кривые и метка пика относятся к текущему прогону. Смена параметров на лету смешала бы разную динамику на одном графике. Сброс обнуляет время и строит историю заново от выбранных I(0) и R(0).

Чего не хватает этой простой SIR?

Нет латентной стадии (SEIR), демографии, сезонности, пространства, возрастов, стохастики малых чисел и явной вакцинации. Базовая учебная модель, а не прогноз конкретной болезни.

SIR-модель эпидемии

S + I + R = 1: βSI и γI; ℛ₀ ≈ β/γ, порог коллективного иммунитета 1 − 1/ℛ₀; график по времени РК4.

О модели

Модель SIR (восприимчивые — инфицированные — перенесшие) — классическая камерная схема эпидемии. Население нормируют: доли S + I + R = 1. Уравнения: S′ = −βSI, I′ = βSI − γI, R′ = γI, где β — интенсивность передачи, γ — скорость выздоровления (обратная типичному сроку заразности). Базовое репродуктивное число ℛ₀ = β/γ — сколько вторичных случаев в среднем даёт один инфицированный при S ≈ 1; при ℛ₀ > 1 вспышка сначала растёт. Порог: S_crit ≈ 1/ℛ₀; доля иммунных ≈ 1 − 1/ℛ₀ в однородной смеси без демографии — ориентир коллективного иммунитета. Интегрирование — РК4 с фиксированным шагом и перенормировкой суммы долей; на графике S, I, R, розовая точка — максимум I(t), пунктир при ℛ₀ > 1 на уровне 1 − 1/ℛ₀. Нет рождений и смертей, сезонности, пространства и стохастики.

Для кого: Математическое моделирование в биологии и здравоохранении: камерные модели и эпидемический порог.

Ключевые понятия

модель SIR
камерная модель
базовое репродуктивное число ℛ₀
коэффициент передачи β
скорость выздоровления γ
коллективный иммунитет
метод Рунге–Кутты

Как это работает

SIR делит население на восприимчивых S, инфицированных I и перенесших R. При S + I + R = 1 и скоростях −βSI, βSI − γI, γI базовое репродуктивное число ℛ₀ ≈ β/γ задаёт порог: при ℛ₀ > 1 вспышка растёт, пока S не опустится ниже 1/ℛ₀; доля иммунных 1 − 1/ℛ₀ — ориентир коллективного иммунитета в этой упрощённой модели.

Основные формулы

S' = −βSI · I' = βSI − γI · R' = γI

Часто задаваемые вопросы

Почему здесь ℛ₀ = β/γ?: В SIR с массовым действием βSI и выздоровлением γI в начале вспышки при S ≈ 1 один инфицированный перестаёт быть заразным с интенсивностью γ и создаёт новых с интенсивностью βS ≈ β. Отношение β/γ и есть ℛ₀. При ℛ₀ ≤ 1 детерминированная вспышка от малой доли не нарастает.
Что означает пунктир на уровне 1 − 1/ℛ₀?: Учебный ориентир: какая доля иммунных в однородной модели нужна, чтобы эффективное ℛ упало ниже единицы. Для реальной политики это не прогноз: смешение неоднородно, иммунитет может ослабевать, вакцинация распределена неравномерно.
Зачем сбрасывать ряд после смены β, γ или начальных условий?: Кривые и метка пика относятся к текущему прогону. Смена параметров на лету смешала бы разную динамику на одном графике. Сброс обнуляет время и строит историю заново от выбранных I(0) и R(0).
Чего не хватает этой простой SIR?: Нет латентной стадии (SEIR), демографии, сезонности, пространства, возрастов, стохастики малых чисел и явной вакцинации. Базовая учебная модель, а не прогноз конкретной болезни.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеШкольные

SEIR / SEIRS: эпидемия

Запустить симулятор

S + E + I + R = 1: латентность σE задерживает заразность, выздоровление γI; опционально ωR → S; ℛ₀ = β/γ; график РК4.

НовоеШкольные

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Запустить симулятор

V(t)→K: Гомперц или логистика; химиотерапия −kV; РК4, сравнение с кривой без лечения.

НовоеУниверситет / научные

Эйлер и РК4 (математический маятник)

Запустить симулятор

Одно нелинейное уравнение математического маятника и один шаг h: явный метод Эйлера рядом с методом Рунге–Кутты четвёртого порядка.

НовоеШкольные

Лотка–Вольтерра

Запустить симулятор

Классическая модель хищник–жертва: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Фазовая плоскость, интегрирование Рунге–Кутты, точка равновесия (γ/δ, α/β).

НовоеУниверситет / научные

Области устойчивости Рунге–Кутты

Запустить симулятор

Абсолютная устойчивость в плоскости z = hλ для явного Эйлера, RK2 и RK4: двигайте λ и h, сравнивайте |R(z)| и смотрите, почему жёсткие моды требуют малых явных шагов.

НовоеУниверситет / научные

Фазовый портрет (2D ОДУ)

Запустить симулятор

Поле направлений и траектории по клику: гармоника, затухание, седло, узлы, фокусы, маятник (РК4).

SIR-модель эпидемии

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

SEIR / SEIRS: эпидемия

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Эйлер и РК4 (математический маятник)

Лотка–Вольтерра

Области устойчивости Рунге–Кутты

Фазовый портрет (2D ОДУ)

SIR-модель эпидемии

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы