Почему здесь ℛ₀ = β/γ?

В стандартной SIR с массовым действием **β S I** и выздоровлением **γ I** в начале вспышки при **S ≈ 1** один инфицированный «теряет» инфицированность с интенсивностью **γ** и создаёт новых с интенсивностью **β S ≈ β**, отношение **β/γ** и есть **ℛ₀**. При **ℛ₀ ≤ 1** детерминированная вспышка от малой доли не нарастает.

Что означает пунктир на уровне 1 − 1/ℛ₀?

Это учебный ориентир: какая доля иммунных в упрощённой однородной модели нужна, чтобы при ограничении только долей восприимчивых эффективное **ℛ** упало ниже единицы. Для реальной политики это не прогноз: смешение неоднородно, иммунитет может ослабевать, вакцинация и перенесённые случаи распределены неравномерно.

Зачем нажимать «Сброс» после смены β, γ или начальных условий?

Временной ряд и метка пика относятся к текущему прогону. Смена параметров «на лету» смешала бы разную динамику на одном графике. Сброс обнуляет время и строит историю заново от выбранных **I(0)** и **R(0)**.

Чего не хватает этой простой SIR?

Нет латентной стадии (**SEIR**), демографического обмена, сезонности, пространственной или сетевой структуры, возрастных слоёв, стохастики малых чисел, изменения поведения и явного учёта вакцинации. Это базовая учебная модель, а не инструмент прогноза конкретной болезни.

SIR-модель эпидемии

S + I + R = 1: βSI и γI; ℛ₀ ≈ β/γ, порог стада 1 − 1/ℛ₀; график по времени RK4.

О модели

Модель SIR (восприимчивые — инфицированные — перенесшие) — классическая компартментная схема динамики инфекций. В симуляторе используются нормированные доли S + I + R = 1: всё население разделено на восприимчивых (ещё могут заболеть), инфицированных (могут передавать) и перенесших (больше не заразны, предполагается иммунитет). ОДУ: S′ = −β S I, I′ = β S I − γ I, R′ = γ I, где β — интенсивность передачи (контакты и вероятность заражения), γ — скорость выздоровления (обратная типичному сроку заразности). Базовое число воспроизведения ℛ₀ = β/γ — сколько вторичных случаев в среднем даёт один инфицированный при S ≈ 1; при ℛ₀ > 1 вспышка сначала растёт. Пороговое рассуждение даёт S_crit ≈ 1/ℛ₀; в однородной смеси без демографии ориентир доли иммунных ≈ 1 − 1/ℛ₀ часто называют стадным иммунитетом. Интегрирование — RK4 с фиксированным шагом и перенормировкой S + I + R после шага; на графике — S, I, R по времени, розовая точка — максимум I(t), пунктир при ℛ₀ > 1 на уровне y = 1 − 1/ℛ₀. Ползунки задают β, γ, I(0) и R(0). Нет рождений и смертей, сезонности, пространства, возрастов, стохастики, ослабления иммунитета — для этого есть SEIR, сетевые модели и др.

Для кого: Студенты курсов математического моделирования в биологии и здравоохранении, а также все, кто осваивает компартментные модели и эпидемические пороги.

Ключевые понятия

Модель SIR
Компартментная модель
Базовое число воспроизведения (ℛ₀)
Коэффициент передачи (β)
Скорость выздоровления (γ)
Порог стадного иммунитета
Интегрирование Рунге–Кутты
ОДУ

Как это работает

SIR делит население на восприимчивых S, инфицированных I и перенесших R. При S + I + R = 1 и скоростях −βSI, βSI − γI, γI базовое число воспроизведения ℛ₀ ≈ β/γ задаёт порог: при ℛ₀ > 1 вспышка растёт, пока S не опустится ниже 1/ℛ₀; доля иммунных 1 − 1/ℛ₀ — ориентир стадного иммунитета в этой упрощённой модели.

Основные формулы

S' = −βSI · I' = βSI − γI · R' = γI

Часто задаваемые вопросы

Почему здесь ℛ₀ = β/γ?: В стандартной SIR с массовым действием β S I и выздоровлением γ I в начале вспышки при S ≈ 1 один инфицированный «теряет» инфицированность с интенсивностью γ и создаёт новых с интенсивностью β S ≈ β, отношение β/γ и есть ℛ₀. При ℛ₀ ≤ 1 детерминированная вспышка от малой доли не нарастает.
Что означает пунктир на уровне 1 − 1/ℛ₀?: Это учебный ориентир: какая доля иммунных в упрощённой однородной модели нужна, чтобы при ограничении только долей восприимчивых эффективное ℛ упало ниже единицы. Для реальной политики это не прогноз: смешение неоднородно, иммунитет может ослабевать, вакцинация и перенесённые случаи распределены неравномерно.
Зачем нажимать «Сброс» после смены β, γ или начальных условий?: Временной ряд и метка пика относятся к текущему прогону. Смена параметров «на лету» смешала бы разную динамику на одном графике. Сброс обнуляет время и строит историю заново от выбранных I(0) и R(0).
Чего не хватает этой простой SIR?: Нет латентной стадии (SEIR), демографического обмена, сезонности, пространственной или сетевой структуры, возрастных слоёв, стохастики малых чисел, изменения поведения и явного учёта вакцинации. Это базовая учебная модель, а не инструмент прогноза конкретной болезни.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеШкольные

SEIR / SEIRS — эпидемия

Запустить симулятор

S + E + I + R = 1: латентность σE задерживает заразность, выздоровление γI; опционально ωR → S; ℛ₀ = β/γ; график RK4.

НовоеШкольные

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Запустить симулятор

V(t)→K: Гомперц или логистика; химиотерапия −kV; RK4, сравнение с кривой без лечения.

НовоеУниверситет / научные

Эйлер и РК4 (Маятник)

Запустить симулятор

Одно и то же нелинейное уравнение маятника и шаг h; прямое сравнение методов Эйлера и РК4.

НовоеШкольные

Лотка–Вольтерра

Запустить симулятор

N′ = αN−βNP, P′ = δNP−γP; фазовая плоскость RK4; точка равновесия.

НовоеУниверситет / научные

Области устойчивости Рунге–Кутты

Запустить симулятор

Абсолютная устойчивость в плоскости z = hλ для явного Эйлера, RK2 и RK4: двигайте λ и h, сравнивайте |R(z)| и смотрите, почему жёсткие моды требуют малых явных шагов.

НовоеУниверситет / научные

Фазовый портрет (2D ОДУ)

Запустить симулятор

Поле направлений и траектории по клику: гармоника, затухание, седло, узлы, фокусы, маятник (РК4).

SIR-модель эпидемии

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

SEIR / SEIRS — эпидемия

Рост опухоли (Гомперц / логистика)

Эйлер и РК4 (Маятник)

Лотка–Вольтерра

Области устойчивости Рунге–Кутты

Фазовый портрет (2D ОДУ)

SIR-модель эпидемии

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы