Para que Gompertz, se já existe a logística?

As curvas clínicas muitas vezes são assimétricas: a desaceleração perto do máximo é longa. O Gompertz dá o mesmo platô K, mas outra forma da série temporal — convém comparar no mesmo gráfico.

O que significa o termo −kV?

Morte instantânea de uma fração de células proporcional a V — terapia citotóxica esquemática, sem concentração do fármaco nem fases do ciclo celular.

Para que duas trajetórias?

O pontilhado é o crescimento sem tratamento com os mesmos r, K, V(0). A verde inclui k depois de t_start; a divergência mostra só o efeito da terapia.

V pode ficar negativo?

Depois do passo de RK4 o volume é limitado por baixo por um número positivo pequeno. Quimioterapia forte no gráfico é quase um zeramento didático, não uma previsão clínica.

Crescimento tumoral (Gompertz)

V(t)→K: Gompertz ou logística; quimioterapia −kV; RK4, comparação com a curva sem tratamento.

Sobre o modelo

O crescimento tumoral (Gompertz ou logística) leva o volume V(t) ao platô K. A logística é V′ = rV(1−V/K) (curva em S simétrica); a lei de Gompertz, V′ = rV ln(K/V) (crescimento rápido a V pequeno e cauda longa perto de K — frequente em oncologia). A quimioterapia é o termo mais simples −kV (morte de primeira ordem, proporcional ao volume), que entra a partir do instante t_start. A curva verde é com tratamento; o pontilhado é o mesmo modelo sem k, integrado em paralelo. Método RK4; reta K, vertical no início da quimioterapia. Não há espaço, imunidade, resistência nem regimes de dose.

Para quem: Biologia matemática e introdução à farmacodinâmica: comparação de Gompertz e logística, morte linear −kV.

Conceitos-chave

crescimento de Gompertz
crescimento logístico
volume tumoral
capacidade de suporte K
quimioterapia
cinética de primeira ordem
método de Runge–Kutta

Como funciona

O volume tumoral V(t) tende a K. Logística: V′ = rV(1−V/K); Gompertz: V′ = rV ln(K/V) — platô assimétrico. Quimioterapia: −kV depois de t_start (morte de primeira ordem). O pontilhado é o crescimento sem tratamento com os mesmos parâmetros. RK4; reta K; duas curvas no mesmo gráfico.

Fórmulas principais

Logística: V' = rV(1−V/K) − kV · Gompertz: V' = rV ln(K/V) − kV

Perguntas frequentes

Para que Gompertz, se já existe a logística?: As curvas clínicas muitas vezes são assimétricas: a desaceleração perto do máximo é longa. O Gompertz dá o mesmo platô K, mas outra forma da série temporal — convém comparar no mesmo gráfico.
O que significa o termo −kV?: Morte instantânea de uma fração de células proporcional a V — terapia citotóxica esquemática, sem concentração do fármaco nem fases do ciclo celular.
Para que duas trajetórias?: O pontilhado é o crescimento sem tratamento com os mesmos r, K, V(0). A verde inclui k depois de t_start; a divergência mostra só o efeito da terapia.
V pode ficar negativo?: Depois do passo de RK4 o volume é limitado por baixo por um número positivo pequeno. Quimioterapia forte no gráfico é quase um zeramento didático, não uma previsão clínica.

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