Почему маятник Эйлера раскачивается выше и набирает энергию?

Это численный артефакт. Явный Эйлер для этой системы неустойчив в долгую: линейная экстраполяция систематически переоценивает прирост ω и добавляет энергию на шаге. В консервативной модели полная механическая энергия постоянна.

Зачем тогда вообще метод Эйлера, если РК4 точнее?

Эйлер — один вызов правой части на шаг против четырёх у РК4. Его оставляют там, где важны простота и малый шаг, и как первую схему, из которой понятен порядок. Чтобы Эйлер догнал РК4 по точности, h обычно нужно сделать неподъёмно мелким.

Что будет, если сильно уменьшить шаг h?

Оба решения сходятся к истинному, дрейф энергии Эйлера на фиксированном интервале слабеет. Ошибка Эйлера масштабируется как h, ошибка РК4 — как h⁴: в этом и есть порядок метода.

Учтены ли трение и масса стержня?

Нет: нить невесома и нерастяжима, груз — точка, сопротивления воздуха нет. Так изолируют ошибку схемы. У реального маятника энергия убывала бы из-за затухания, а не росла, как у Эйлера.

Эйлер и РК4 (математический маятник)

Одно нелинейное уравнение математического маятника и один шаг h: явный метод Эйлера рядом с методом Рунге–Кутты четвёртого порядка.

О модели

Математический маятник без приближения малых углов: θ″ = −(g/L) sin θ. Аналитического решения в элементарных функциях нет, поэтому сравнивают два численных метода на одной и той же задаче Коши. Уравнение второго порядка сводится к системе θ′ = ω, ω′ = −(g/L) sin θ. Явный метод Эйлера делает линейный шаг: θ ← θ + hω, ω ← ω + h a(θ). Метод Рунге–Кутты четвёртого порядка (РК4) берёт четыре промежуточных наклона и даёт локальную ошибку порядка h⁵. Трения и массы стержня нет: система консервативна, полная энергия должна сохраняться. Эйлер на больших h накачивает энергию и сдвигает фазу; РК4 при том же h остаётся близко к эталону гораздо дольше. Меняются g/L, шаг h и начальный угол.

Для кого: Численные методы и вычислительная физика: ОДУ, порядок схемы, дрейф энергии.

Ключевые понятия

численное интегрирование
метод Рунге–Кутты
метод Эйлера
обыкновенное дифференциальное уравнение
математический маятник
ошибка усечения
сохранение энергии
фазовое пространство

Как это работает

Одно уравнение θ″ = −(g/L) sin θ, один начальный угол, один шаг h. Явный Эйлер обновляет θ и ω линейно и на больших h накачивает энергию, фаза уходит. РК4 усредняет четыре наклона и остаётся гораздо ближе к консервативному эталону. Уменьшите h — Эйлер расходится позже, но цена шагов растёт.

Основные формулы

Эйлер: θ += ωh, ω += a(θ)h · РК4: четырёхстадийное усреднение по (θ, ω)

Часто задаваемые вопросы

Почему маятник Эйлера раскачивается выше и набирает энергию?: Это численный артефакт. Явный Эйлер для этой системы неустойчив в долгую: линейная экстраполяция систематически переоценивает прирост ω и добавляет энергию на шаге. В консервативной модели полная механическая энергия постоянна.
Зачем тогда вообще метод Эйлера, если РК4 точнее?: Эйлер — один вызов правой части на шаг против четырёх у РК4. Его оставляют там, где важны простота и малый шаг, и как первую схему, из которой понятен порядок. Чтобы Эйлер догнал РК4 по точности, h обычно нужно сделать неподъёмно мелким.
Что будет, если сильно уменьшить шаг h?: Оба решения сходятся к истинному, дрейф энергии Эйлера на фиксированном интервале слабеет. Ошибка Эйлера масштабируется как h, ошибка РК4 — как h⁴: в этом и есть порядок метода.
Учтены ли трение и масса стержня?: Нет: нить невесома и нерастяжима, груз — точка, сопротивления воздуха нет. Так изолируют ошибку схемы. У реального маятника энергия убывала бы из-за затухания, а не росла, как у Эйлера.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Области устойчивости Рунге–Кутты

Запустить симулятор

Абсолютная устойчивость в плоскости z = hλ для явного Эйлера, RK2 и RK4: двигайте λ и h, сравнивайте |R(z)| и смотрите, почему жёсткие моды требуют малых явных шагов.

НовоеШкольные

Лотка–Вольтерра

Запустить симулятор

Классическая модель хищник–жертва: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Фазовая плоскость, интегрирование Рунге–Кутты, точка равновесия (γ/δ, α/β).

НовоеУниверситет / научные

Фазовый портрет (2D ОДУ)

Запустить симулятор

Поле направлений и траектории по клику: гармоника, затухание, седло, узлы, фокусы, маятник (РК4).

НовоеШкольные

SIR-модель эпидемии

Запустить симулятор

S + I + R = 1: βSI и γI; ℛ₀ ≈ β/γ, порог коллективного иммунитета 1 − 1/ℛ₀; график по времени РК4.

НовоеУниверситет / научные

Аттрактор Рёсслера

Запустить симулятор

Интегрирование методом Рунге–Кутты 4-го порядка системы ẋ = −y − z, ẏ = x + ay, ż = b + z(x − c); каскад удвоения периода при росте c.

НовоеШкольные

SEIR / SEIRS: эпидемия

Запустить симулятор

S + E + I + R = 1: латентность σE задерживает заразность, выздоровление γI; опционально ωR → S; ℛ₀ = β/γ; график РК4.

Эйлер и РК4 (математический маятник)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Области устойчивости Рунге–Кутты

Лотка–Вольтерра

Фазовый портрет (2D ОДУ)

SIR-модель эпидемии

Аттрактор Рёсслера

SEIR / SEIRS: эпидемия

Эйлер и РК4 (математический маятник)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы