Pourquoi Gompertz, s’il y a déjà la logistique ?

Les courbes cliniques sont souvent asymétriques : long ralentissement près du maximum. Gompertz donne le même plateau K, mais une autre forme de série temporelle — commode à comparer sur un même graphe.

Que signifie le terme −kV ?

Mort instantanée d’une fraction de cellules proportionnelle à V — thérapie cytotoxique schématique, sans concentration de médicament ni phases du cycle cellulaire.

Pourquoi deux trajectoires ?

Le pointillé — croissance sans traitement aux mêmes r, K, V(0). La verte — avec k après t_start ; l’écart ne montre que l’effet de la thérapie.

V peut-il devenir négatif ?

Après un pas RK4, le volume est borné inférieurement par un petit nombre positif. Une chimiothérapie forte sur le graphe — quasi-annulation au sens pédagogique, pas une prévision clinique.

Croissance tumorale (Gompertz / logistique)

V(t)→K : Gompertz ou logistique ; chimiothérapie −kV ; RK4, comparaison avec la courbe sans traitement.

À propos du modèle

La croissance tumorale est représentée par un volume V(t) qui rejoint un plateau K. Deux lois : logistique V′ = rV(1−V/K) (courbe en S symétrique) et loi de Gompertz V′ = rV ln(K/V) (croissance rapide aux petits V et longue queue près de K — fréquente en oncologie). La chimiothérapie — terme le plus simple −kV (mort d’ordre 1, proportionnelle au volume), activée à partir de t_start. Courbe verte — avec traitement, pointillé — le même modèle sans k, intégré en parallèle. Méthode RK4 ; ligne K, verticale — début de la chimiothérapie. Pas d’espace, ni d’immunité, ni de résistance, ni de schémas de doses.

Public : Biologie mathématique et introduction à la pharmacodynamie : comparaison Gompertz et logistique, mort linéaire −kV.

Notions clés

croissance de Gompertz
croissance logistique
volume tumoral
capacité limite K
chimiothérapie
cinétique d’ordre 1
méthode de Runge–Kutta

Comment ça marche

Le volume tumoral V(t) tend vers K. Logistique : V′ = rV(1−V/K) ; Gompertz : V′ = rV ln(K/V) — plateau asymétrique. Chimiothérapie : −kV après t_start (mort d’ordre 1). Pointillé — croissance sans traitement aux mêmes paramètres. RK4 ; ligne K ; deux courbes sur un même graphe.

Formules

Logistique : V' = rV(1−V/K) − kV · Gompertz : V' = rV ln(K/V) − kV

Questions fréquentes

Pourquoi Gompertz, s’il y a déjà la logistique ?: Les courbes cliniques sont souvent asymétriques : long ralentissement près du maximum. Gompertz donne le même plateau K, mais une autre forme de série temporelle — commode à comparer sur un même graphe.
Que signifie le terme −kV ?: Mort instantanée d’une fraction de cellules proportionnelle à V — thérapie cytotoxique schématique, sans concentration de médicament ni phases du cycle cellulaire.
Pourquoi deux trajectoires ?: Le pointillé — croissance sans traitement aux mêmes r, K, V(0). La verte — avec k après t_start ; l’écart ne montre que l’effet de la thérapie.
V peut-il devenir négatif ?: Après un pas RK4, le volume est borné inférieurement par un petit nombre positif. Une chimiothérapie forte sur le graphe — quasi-annulation au sens pédagogique, pas une prévision clinique.

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