Por que as bordas das bacias de Newton são tão complicadas?

O passo de Newton é uma solução linear local, mas longe da raiz pontos de partida próximos podem ir a raízes distintas. Repetir esse mapa não linear produz bordas sensíveis, muitas vezes de aspecto fractal.

O que é uma falha do jacobiano?

O passo exige resolver J δ = F. Se o jacobiano é degenerado ou quase degenerado, o passo não está definido ou fica enorme: a iteração para, foge ou não cumpre o critério de convergência.

De que depende o número de iterações?

Perto de uma raiz com jacobiano não degenerado a convergência é quadrática e o pixel fica claro (poucos passos). Na borda da bacia ou com det J quase nulo há mais passos, ou a iteração falha.

Bacias de Newton–Raphson

Mapa das bacias do método de Newton–Raphson para o sistema F(x, y) = 0: dependência da aproximação inicial, número de iterações, atração às raízes e falhas quando o jacobiano é degenerado.

Cada pixel é uma aproximação inicial distinta. Newton pode convergir de forma quadrática perto de uma raiz simples, mas longe dela a mesma fórmula salta entre bacias, cai num jacobiano quase singular ou não converge no limite de iterações.

Gráficos

Sobre o modelo

As bacias de Newton–Raphson para o sistema F(x, y) = 0 vêm da atualização u = (x, y) segundo u_{k+1} = u_k − J(u_k)⁻¹ F(u_k). A equação zⁿ − 1 = 0 vira duas funções reais, Re(zⁿ − 1) = 0 e Im(zⁿ − 1) = 0; cada pixel é uma aproximação inicial e a cor indica a raiz a que a iteração chegou. O brilho registra o número de passos; as células escuras são falhas: jacobiano degenerado ou quase degenerado, fuga da trajetória ou ausência de convergência. A trajetória de prova mostra como um único ponto de partida salta de uma bacia a outra. Perto de uma raiz simples a convergência é quadrática; longe da raiz as bordas costumam ter aspecto fractal.

Para quem: Métodos numéricos e dinâmica complexa: sistemas não lineares, dependência da aproximação inicial.

Conceitos-chave

método de Newton–Raphson
bacia de atração
jacobiano
aproximação inicial
convergência quadrática
sistema F(x, y) = 0

Como funciona

O método de Newton para o sistema F(x,y)=0 usa a linearização local: u_{k+1}=u_k−J(u_k)^{-1}F(u_k). Na demonstração, a equação complexa z^n−1=0 escreve-se como duas funções reais Re(z^n−1)=0 e Im(z^n−1)=0. Cada pixel é uma aproximação inicial; a cor indica a que raiz a iteração chegou e o brilho, quantos passos foram precisos. As regiões escuras aparecem quando o jacobiano é degenerado ou quase degenerado, a trajetória foge ou não há convergência no limite de passos dado.

Fórmulas principais

Passo de Newton: u_{k+1}=u_k − J(u_k)^{-1}F(u_k), u=(x,y)

Sistema da demonstração: z^n−1=0, isto é Re(z^n−1)=0 e Im(z^n−1)=0

Perguntas frequentes

Por que as bordas das bacias de Newton são tão complicadas?: O passo de Newton é uma solução linear local, mas longe da raiz pontos de partida próximos podem ir a raízes distintas. Repetir esse mapa não linear produz bordas sensíveis, muitas vezes de aspecto fractal.
O que é uma falha do jacobiano?: O passo exige resolver J δ = F. Se o jacobiano é degenerado ou quase degenerado, o passo não está definido ou fica enorme: a iteração para, foge ou não cumpre o critério de convergência.
De que depende o número de iterações?: Perto de uma raiz com jacobiano não degenerado a convergência é quadrática e o pixel fica claro (poucos passos). Na borda da bacia ou com det J quase nulo há mais passos, ou a iteração falha.

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