¿Por qué los bordes de las cuencas de Newton son tan complicados?

El paso de Newton es una solución lineal local, pero lejos de la raíz puntos de partida cercanos pueden ir a raíces distintas. Repetir ese mapa no lineal produce bordes sensibles, a menudo de aspecto fractal.

¿Qué es un fallo del jacobiano?

El paso exige resolver J δ = F. Si el jacobiano es degenerado o casi degenerado, el paso no está definido o se vuelve enorme: la iteración se detiene, se escapa o no cumple el criterio de convergencia.

¿De qué depende el número de iteraciones?

Cerca de una raíz con jacobiano no degenerado la convergencia es cuadrática y el píxel queda brillante (pocos pasos). En el borde de la cuenca o con det J casi nulo hay más pasos, o la iteración falla.

Cuencas de Newton-Raphson

Mapa de cuencas del método de Newton-Raphson para el sistema F(x, y) = 0: dependencia de la aproximación inicial, número de iteraciones, atracción hacia las raíces y fallos cuando el jacobiano es degenerado.

Cada píxel es una aproximación inicial distinta. Newton puede converger de forma cuadrática cerca de una raíz simple, pero lejos de ella la misma fórmula salta entre cuencas, cae en un jacobiano casi singular o no converge en el límite de iteraciones.

Gráficas

Sobre el modelo

El método de Newton-Raphson para el sistema F(x, y) = 0 actualiza la aproximación u = (x, y) con u_{k+1} = u_k − J(u_k)⁻¹ F(u_k). La ecuación zⁿ − 1 = 0 se escribe como dos funciones reales Re(zⁿ − 1) = 0 e Im(zⁿ − 1) = 0; cada píxel es una aproximación inicial y el color indica la raíz a la que llegó la iteración. El brillo codifica el número de pasos; las celdas oscuras son fallos: jacobiano degenerado o casi degenerado, escape de la trayectoria o falta de convergencia. La trayectoria de prueba muestra cómo un solo punto de partida salta entre cuencas. Cerca de una raíz simple la convergencia es cuadrática; lejos de la raíz los bordes suelen tener aspecto fractal.

Para quién: Métodos numéricos y dinámica compleja: sistemas no lineales, dependencia de la aproximación inicial.

Conceptos clave

método de Newton-Raphson
cuenca de atracción
jacobiano
aproximación inicial
convergencia cuadrática
sistema F(x, y) = 0

Cómo funciona

El método de Newton para el sistema F(x,y)=0 usa la linealización local: u_{k+1}=u_k−J(u_k)^{-1}F(u_k). En la demostración, la ecuación compleja z^n−1=0 se escribe como dos funciones reales Re(z^n−1)=0 e Im(z^n−1)=0. Cada píxel es una aproximación inicial; el color indica a qué raíz llegó la iteración y el brillo, cuántos pasos hicieron falta. Las regiones oscuras aparecen cuando el jacobiano es degenerado o casi degenerado, la trayectoria se escapa o no hay convergencia en el límite de pasos dado.

Fórmulas principales

Paso de Newton: u_{k+1}=u_k − J(u_k)^{-1}F(u_k), u=(x,y)

Sistema de la demo: z^n−1=0, es decir Re(z^n−1)=0 e Im(z^n−1)=0

Preguntas frecuentes

¿Por qué los bordes de las cuencas de Newton son tan complicados?: El paso de Newton es una solución lineal local, pero lejos de la raíz puntos de partida cercanos pueden ir a raíces distintas. Repetir ese mapa no lineal produce bordes sensibles, a menudo de aspecto fractal.
¿Qué es un fallo del jacobiano?: El paso exige resolver J δ = F. Si el jacobiano es degenerado o casi degenerado, el paso no está definido o se vuelve enorme: la iteración se detiene, se escapa o no cumple el criterio de convergencia.
¿De qué depende el número de iteraciones?: Cerca de una raíz con jacobiano no degenerado la convergencia es cuadrática y el píxel queda brillante (pocos pasos). En el borde de la cuenca o con det J casi nulo hay más pasos, o la iteración falla.

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