Pourquoi les frontières des bassins de Newton sont-elles si compliquées ?

Le pas de Newton est une résolution linéaire locale, mais loin de la racine des départs proches peuvent aboutir à des racines différentes. La répétition de cette application non linéaire produit des frontières sensibles, souvent d’aspect fractal.

Qu’est-ce qu’un échec de la jacobienne ?

Le pas exige de résoudre J δ = F. Si la jacobienne est dégénérée ou presque dégénérée, le pas n’est pas défini ou devient énorme : l’itération s’arrête, s’enfuit ou ne passe pas le critère de convergence.

De quoi dépend le nombre d’itérations ?

Près d’une racine à jacobienne non dégénérée, la convergence est quadratique et le pixel est clair (peu de pas). Au bord du bassin ou si det J est presque nul, il y a plus de pas, ou l’itération échoue.

Bassins de Newton–Raphson

Carte des bassins de Newton–Raphson pour le système F(x, y) = 0 : dépendance de l’approximation initiale, nombre d’itérations, attraction vers les racines et échecs lorsque la jacobienne est dégénérée.

Chaque pixel est une approximation initiale distincte. Newton peut converger quadratiquement près d’une racine simple, mais loin d’elle la même formule saute d’un bassin à l’autre, tombe sur une jacobienne presque singulière ou ne converge pas dans la limite d’itérations.

Graphiques

À propos du modèle

Les bassins de Newton–Raphson pour le système F(x, y) = 0 se dessinent en itérant u_{k+1} = u_k − J(u_k)⁻¹ F(u_k), avec u = (x, y). L’équation zⁿ − 1 = 0 est écrite comme deux fonctions réelles Re(zⁿ − 1) = 0 et Im(zⁿ − 1) = 0 ; chaque pixel est une approximation initiale, la couleur indique la racine atteinte. La luminosité code le nombre de pas ; les cellules sombres sont des échecs : jacobienne dégénérée ou presque dégénérée, fuite de la trajectoire, absence de convergence. La trajectoire d’essai montre comment un seul point de départ saute d’un bassin à l’autre. Près d’une racine simple, la convergence est quadratique ; loin de la racine, les frontières ont souvent un aspect fractal.

Public : Méthodes numériques et dynamique complexe : systèmes non linéaires, dépendance de l’approximation initiale.

Notions clés

méthode de Newton–Raphson
bassin d’attraction
jacobienne
approximation initiale
convergence quadratique
système F(x, y) = 0

Comment ça marche

La méthode de Newton pour le système F(x,y)=0 utilise la linéarisation locale : u_{k+1}=u_k−J(u_k)^{-1}F(u_k). Dans la démonstration, l’équation complexe z^n−1=0 est écrite comme deux fonctions réelles Re(z^n−1)=0 et Im(z^n−1)=0. Chaque pixel est une approximation initiale ; la couleur indique vers quelle racine l’itération a convergé, et la luminosité combien de pas ont été nécessaires. Les zones sombres apparaissent lorsque la jacobienne est dégénérée ou presque dégénérée, que la trajectoire s’échappe ou qu’il n’y a pas convergence dans la limite de pas fixée.

Formules

Pas de Newton : u_{k+1}=u_k − J(u_k)^{-1}F(u_k), u=(x,y)

Système de la démonstration : z^n−1=0, c’est-à-dire Re(z^n−1)=0 et Im(z^n−1)=0

Questions fréquentes

Pourquoi les frontières des bassins de Newton sont-elles si compliquées ?: Le pas de Newton est une résolution linéaire locale, mais loin de la racine des départs proches peuvent aboutir à des racines différentes. La répétition de cette application non linéaire produit des frontières sensibles, souvent d’aspect fractal.
Qu’est-ce qu’un échec de la jacobienne ?: Le pas exige de résoudre J δ = F. Si la jacobienne est dégénérée ou presque dégénérée, le pas n’est pas défini ou devient énorme : l’itération s’arrête, s’enfuit ou ne passe pas le critère de convergence.
De quoi dépend le nombre d’itérations ?: Près d’une racine à jacobienne non dégénérée, la convergence est quadratique et le pixel est clair (peu de pas). Au bord du bassin ou si det J est presque nul, il y a plus de pas, ou l’itération échoue.

Poursuivez avec des thèmes proches de cette catégorie — ou les 85 de «Visualisation mathématique».

Toute la catégorie →

NouveauUniversité

Fractale de Newton

Lancer la simulation

Bassins d’attraction des itérations de Newton pour zⁿ − 1, avec un paramètre de relaxation ω.

NouveauCollège–lycée

Méthode de Newton (1D)

Lancer la simulation

Graphe de f(x), un clic fixe x₀, itérations x − f/f′ (dérivée numérique) ; panoramique et cas. Les bassins sur �Graphe de f(x), un clic fixe x₀, itérations x − f/f′ (dérivée numérique) ; panoramique et cas. Les bassins sur ℂ sont dans l’expérience séparée « fractale de Newton ».

NouveauUniversité

Méthode du gradient conjugué

Lancer la simulation

Système SDP Ax=b comme minimisation d’une forme quadratique : lignes de niveau, gradient conjugué contre plus grande pente, norme du résidu et conditionnement.

NouveauUniversité

Optimiseurs de descente de gradient

Lancer la simulation

Comparaison de SGD, du moment et d’Adam sur un relief bidimensionnel de la fonction de perte : pas d’apprentissage, courbure, stabilité et trajectoires des itérations.

NouveauUniversité

Attracteur de Lorenz

Lancer la simulation

Système de Lorenz aux paramètres σ, ρ, β : attracteur étrange en « papillon » dans la projection (x, z). Intégration par Runge–Kutta, sensibilité aux conditions initiales.

NouveauUniversité

Itération en puissance : convergence de la valeur propre

Lancer la simulation

Convergence vers le vecteur propre dominant : rapport d’écart spectral, quotient de Rayleigh, résidu et itérations normées.

Bassins de Newton–Raphson

Graphiques

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes

Simulations voisines

Fractale de Newton

Méthode de Newton (1D)

Méthode du gradient conjugué

Optimiseurs de descente de gradient

Attracteur de Lorenz

Itération en puissance : convergence de la valeur propre

Bassins de Newton–Raphson

Graphiques

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes