Что управляет скоростью сходимости power iteration?

Для diagonalizable matrix с единственным dominant eigenvalue ошибка направления обычно убывает как |lambda2/lambda1|^k. Чем больше spectral gap, тем меньше ratio и быстрее сходимость.

Зачем нужен Rayleigh quotient?

Когда вектор близок к eigenvector, rho=x^T A x / x^T x даёт естественную оценку eigenvalue. Residual ||Ax-rho x|| затем проверяет, насколько пара действительно близка к eigenpair.

Степенной метод и сходимость eigenvalue

Визуализация сходимости к dominant eigenvector: spectral gap ratio, Rayleigh quotient, eigen residual и нормированные power iterates.

Демо использует 2D symmetric matrix, поэтому true eigenvectors видны. Когда spectral ratio близок к единице, сходимость замедляется; если начальный вектор почти ортогонален dominant eigenvector, полезная компонента сначала очень мала.

Графики

О модели

Степенной метод многократно умножает вектор на A и нормирует результат, поэтому при |lambda1|>|lambda2| направление стремится к eigenvector доминирующего eigenvalue. Симулятор использует 2D symmetric matrix с видимыми eigenvectors, так что каждую нормированную итерацию можно показать на unit circle. Rayleigh quotient оценивает eigenvalue, eigen residual ||Ax-rho x|| показывает близость к eigenvector, а spectral gap ratio |lambda2/lambda1| объясняет, почему сходимость бывает быстрой или очень медленной.

Для кого: Numerical linear algebra, scientific computing, data science, graph algorithms и курсы прикладной математики.

Ключевые понятия

Power iteration
Dominant eigenvector
Rayleigh quotient
Spectral gap
Eigen residual
Convergence rate

Как это работает

Power iteration повторяет x_{k+1}=Ax_k/||Ax_k||. Если есть единственный dominant eigenvalue и стартовый вектор имеет компоненту вдоль его eigenvector, направление сходится к этому eigenvector. Скорость задаёт spectral ratio |λ2/λ1|: чем он ближе к 1, тем медленнее убывает ошибка. Rayleigh quotient ρ=x^T A x / x^T x оценивает eigenvalue, а ||Ax−ρx|| показывает, насколько текущий вектор похож на настоящий eigenvector.

Основные формулы

x_{k+1}=A x_k / ||A x_k||, ρ_k=(x_k^T A x_k)/(x_k^T x_k)

При |λ1|>|λ2| ошибка направления убывает примерно как |λ2/λ1|^k

Часто задаваемые вопросы

Что управляет скоростью сходимости power iteration?: Для diagonalizable matrix с единственным dominant eigenvalue ошибка направления обычно убывает как |lambda2/lambda1|^k. Чем больше spectral gap, тем меньше ratio и быстрее сходимость.
Зачем нужен Rayleigh quotient?: Когда вектор близок к eigenvector, rho=x^T A x / x^T x даёт естественную оценку eigenvalue. Residual ||Ax-rho x|| затем проверяет, насколько пара действительно близка к eigenpair.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеШкольные

Матрица 2×2 и собственные векторы

Запустить симулятор

Деформация сетки под действием M; стрелки вдоль собственных направлений для вещественных λ.

НовоеУниверситет / научные

Интегрирование Monte Carlo и variance reduction

Запустить симулятор

Сравнение plain Monte Carlo, importance sampling и stratified sampling для ∫f(x)dx: convergence curves, standard error и скорость 1/√N.

НовоеУниверситет / научные

Оптимизаторы градиентного спуска

Запустить симулятор

Сравнение SGD, momentum и Adam на 2D loss landscape: learning rate, curvature, устойчивость и траектории итераций.

НовоеУниверситет / научные

Смешивание Markov chain

Запустить симулятор

Трёхсостоячная Markov chain: transition matrix, stationary distribution, total variation distance, detailed balance и spectral gap.

ПопулярноеШкольные

Тригонометрическая окружность

Запустить симулятор

Единичная окружность с динамическими значениями sin, cos, tg при перемещении точки.

НовоеУниверситет / научные

Бассейны Ньютона для 2D систем

Запустить симулятор

Карта Newton basins для нелинейных F(x,y)=0: чувствительность к initial guess, iteration counts, root attraction и singular-Jacobian failures.

Степенной метод и сходимость eigenvalue

Графики

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Матрица 2×2 и собственные векторы

Интегрирование Monte Carlo и variance reduction

Оптимизаторы градиентного спуска

Смешивание Markov chain

Тригонометрическая окружность

Бассейны Ньютона для 2D систем

Степенной метод и сходимость eigenvalue

Графики

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы