Что такое хемотаксический коллапс?

При большом **χ** континуальные уравнения могут дать взрыв решения за конечное время: почти вся масса в узком пике. На сетке это рост **max(n)** и яркое пятно — дискретный аналог сингулярности.

Зачем периодические границы?

Упрощают лапласиан и дивергенцию на краях, чтобы сфокусироваться на объёмной агрегации. В чашке Петри стенки с нулевым потоком; для обучения картина схожа качественно.

Как влияют α и β?

Больше **α** или меньше **β** — выше уровень **c** и круче градиенты, сильнее притяжение. Большое **β** быстрее «смывает» сигнал.

Стабильна ли схема при любых ползунках?

Явный Эйлер может «взорваться» при слишком больших **χ** или **Δt**. Пресеты подобраны для наглядного коллапса; при шуме уменьшите **χ** или **Δt** и нажмите «Пересеять».

Хемотаксис Келлера–Сегела

Система Келлера–Сегела — минимальная модель хемотаксиса: плотность клеток n движется вверх по градиенту аттрактанта c, который сами секретируют. В симуляторе ∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c) на сетке 96×96 с периодическими границами; явно −χ(∇n·∇c + n∇²c). Аттрактант: ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc. Центральная «колония» бактерий выделяет c, притягивается к максимумам и слипается в пятна. При χ выше критического (зависит от массы) в континууме возможен коллапс — концентрация n в острый пик (на сетке растёт max n, яркое ядро на лог-шкале цвета). Меньшее χ — мягкая агрегация. Схема — явный Эйлер; пресеты «коллапс», «агрегация», «слабый χ»; опциональная подсветка поля c.

Для кого: Студенты математической биологии и УРЧП, изучающие направленное движение, агрегацию и коллапс плотности.

Ключевые понятия

Модель Келлера–Сегела
Хемотаксис
Градиент аттрактанта
Хемотаксический коллапс
Реакция–диффузия
Плотность клеток
Критический параметр χ
Конечные разности

Параметры Келлера–Сегела

Пресет

χ (чувствительность)14

Dₙ (диффузия клеток)0.16

D_c (диффузия аттрактанта)0.5

α (секреция)1.1

β (распад c)0.1

Δt0.04

Шагов / кадр3

Подсветка аттрактанта c

Клетки ползут по градиенту c, который сами выделяют. Выше критического χ — схлопывание массы в пик. Периодические границы, явный Эйлер.

Горячие клавиши

Пробел или Enter — пуск / пауза
R — пересеять

Измеренные величины

max n2.545

max c0.000

Σn (масса)1939.58

время0.00

Как это работает

Плотность бактерий n и аттрактант c на сетке: ∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c), ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc. Клетки дрейфуют вверх по ∇c, секретируя c. При большом χ — агрегация и коллапс (рост max n). Цвет — log(1+n); пресет «Коллапс»; периодические границы.

Основные формулы

∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c) · ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc

Часто задаваемые вопросы

Что такое хемотаксический коллапс?: При большом χ континуальные уравнения могут дать взрыв решения за конечное время: почти вся масса в узком пике. На сетке это рост max(n) и яркое пятно — дискретный аналог сингулярности.
Зачем периодические границы?: Упрощают лапласиан и дивергенцию на краях, чтобы сфокусироваться на объёмной агрегации. В чашке Петри стенки с нулевым потоком; для обучения картина схожа качественно.
Как влияют α и β?: Больше α или меньше β — выше уровень c и круче градиенты, сильнее притяжение. Большое β быстрее «смывает» сигнал.
Стабильна ли схема при любых ползунках?: Явный Эйлер может «взорваться» при слишком больших χ или Δt. Пресеты подобраны для наглядного коллапса; при шуме уменьшите χ или Δt и нажмите «Пересеять».