¿Qué es el colapso quimiotáctico?

Si χ es grande, las ecuaciones continuas pueden explotar en tiempo finito: casi toda la masa en un pico estrecho. En la malla eso es el crecimiento de max(n) y una mancha brillante: el análogo discreto de la singularidad.

¿Para qué fronteras periódicas?

Simplifican el laplaciano y la divergencia en los bordes, para mirar la agregación en el volumen. En una placa de Petri las paredes son de flujo nulo; en lo cualitativo el cuadro se parece.

¿Cómo influyen α y β?

Más α o menos β: más alto el nivel de c y más empinados los gradientes, más fuerte la atracción. Un β grande disipa la señal más rápido.

¿Por qué el esquema «explota» si χ es grande?

El Euler explícito es inestable si χ o Δt son demasiado grandes. Las plantillas están pensadas para un colapso visible; si hay ruido, baje χ o el paso y resiembre el campo.

Quimiotaxis de Keller-Segel

n sigue el gradiente de c; secreción αn, decaimiento βc; colapso si χ es grande; malla 96².

Sobre el modelo

El sistema de Keller-Segel es el modelo mínimo de quimiotaxis: la densidad celular n se mueve hacia arriba del gradiente del atrayente c, que las propias células secretan. En una malla periódica 96×96: ∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c) y ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc. Una «colonia» central libera c, se atrae hacia los máximos y se agrupa en manchas. Si χ supera un umbral crítico (que depende de la masa), en el continuo puede haber colapso: n se concentra en un pico agudo; en la malla crece max n. Un χ menor da una agregación suave. El esquema es Euler explícito; plantillas «colapso», «agregación», «χ débil»; opcionalmente se resalta el campo c.

Para quién: Biología matemática y EDP: movimiento dirigido, agregación y colapso de la densidad.

Conceptos clave

modelo de Keller-Segel
quimiotaxis
gradiente del atrayente
colapso quimiotáctico
reacción-difusión
densidad celular
parámetro crítico χ

Cómo funciona

Densidad de bacterias n y atrayente c en una malla: ∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c), ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc. Las células derivan hacia arriba de ∇c y secretan c. Si χ es grande, hay agregación y colapso (crece max n). El color es log(1+n); plantilla «colapso»; fronteras periódicas.

Fórmulas principales

∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c) · ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc

Preguntas frecuentes

¿Qué es el colapso quimiotáctico?: Si χ es grande, las ecuaciones continuas pueden explotar en tiempo finito: casi toda la masa en un pico estrecho. En la malla eso es el crecimiento de max(n) y una mancha brillante: el análogo discreto de la singularidad.
¿Para qué fronteras periódicas?: Simplifican el laplaciano y la divergencia en los bordes, para mirar la agregación en el volumen. En una placa de Petri las paredes son de flujo nulo; en lo cualitativo el cuadro se parece.
¿Cómo influyen α y β?: Más α o menos β: más alto el nivel de c y más empinados los gradientes, más fuerte la atracción. Un β grande disipa la señal más rápido.
¿Por qué el esquema «explota» si χ es grande?: El Euler explícito es inestable si χ o Δt son demasiado grandes. Las plantillas están pensadas para un colapso visible; si hay ruido, baje χ o el paso y resiembre el campo.

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