Почему явная схема взрывается при r > 1/2?

Фурье-моды ошибки умножаются за шаг на **G(k)=1−4r sin²(kΔx/2)**. Для высокочастотных мод и **r > 1/2** получается **|G| > 1**, поэтому даже округление или маленький шахматный шум растут, хотя настоящее уравнение теплопроводности должно всё сглаживать.

Если неявная схема устойчива при любом r, почему не брать огромный шаг?

Устойчивость не равна точности. Большой **r** чрезмерно демпфирует моды и может размазать переходный процесс. Неявные методы позволяют большие устойчивые шаги, но **Δt** всё равно выбирают по требуемой точности и характерным временам задачи.

Какие граничные условия используются?

На обоих концах стоит **u=0** (однородные условия Дирихле), как у стержня, концы которого закреплены в тепловой ванне. Формулы применяются только к внутренним узлам сетки.

Уравнение теплопроводности: конечные разности

Симулятор решает одномерное уравнение теплопроводности u_t = αu_xx на 0 ≤ x ≤ 1 с фиксированными нулевыми температурами на краях. Пространственная производная заменена стандартной второй разностью на равномерной сетке, а главный безразмерный параметр — CFL / диффузионное число r = αΔt/Δx². Явная FTCS использует формулу u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i-1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n); анализ фон Неймана даёт классический предел устойчивости r ≤ 1/2. При r > 1/2 малые чередующиеся компоненты в начальных данных растут и превращаются в характерный «пилообразный» взрыв. Неявная схема Эйлера назад решает (I−rL)u^{n+1}=u^n трёхдиагональной прогонкой. Для диффузии она безусловно устойчива, поэтому большой r не взрывается, но профиль сильнее размазывается и точность по времени падает. Верхний график показывает текущий профиль температуры; нижняя полоска — недавнюю историю во времени.

Для кого: Студенты численных PDE, scientific computing, теплопередачи и вычислительной физики, изучающие конечные разности, CFL-ограничения и явные/неявные шаги по времени.

Ключевые понятия

Уравнение теплопроводности
Конечные разности
FTCS
Эйлер назад
Условие CFL
Устойчивость фон Неймана
Трёхдиагональная прогонка
Численная диффузия

Конечные разности

Схема

Начальное условие

CFL r = αΔt/Δx²0.42

Шагов времени за кадр2

FTCS: u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i−1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n), при r>1/2 высокочастотные моды растут. Эйлер назад решает трёхдиагональную систему и устойчив при любом r, но сильнее размазывает профиль.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — пуск / пауза
P — пауза / продолжить
R — сброс

Измеренные величины

r0.42

Δt (α=1)4.20e-5

max |u|1.000

∫u² dx9.71e-2

CFL явной схемыok

Как это работает

u_t = αu_xx на 1D стержне с u=0 на краях. Явная FTCS использует r = αΔt/Δx² и устойчива только при r ≤ 1/2; при большем r маленький шахматный шум взрывается. Неявный Эйлер назад решает трёхдиагональную систему и не взрывается, но сильнее сглаживает.

Основные формулы

u_t = αu_xx, r = αΔt/Δx². Explicit: u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i-1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n), stable for r ≤ 1/2. Implicit backward Euler solves (I−rL)u^{n+1}=u^n.

Часто задаваемые вопросы

Почему явная схема взрывается при r > 1/2?: Фурье-моды ошибки умножаются за шаг на G(k)=1−4r sin²(kΔx/2). Для высокочастотных мод и r > 1/2 получается |G| > 1, поэтому даже округление или маленький шахматный шум растут, хотя настоящее уравнение теплопроводности должно всё сглаживать.
Если неявная схема устойчива при любом r, почему не брать огромный шаг?: Устойчивость не равна точности. Большой r чрезмерно демпфирует моды и может размазать переходный процесс. Неявные методы позволяют большие устойчивые шаги, но Δt всё равно выбирают по требуемой точности и характерным временам задачи.
Какие граничные условия используются?: На обоих концах стоит u=0 (однородные условия Дирихле), как у стержня, концы которого закреплены в тепловой ванне. Формулы применяются только к внутренним узлам сетки.

Другие симуляторы в этой категории — или все 72.

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Схемы переноса: upwind / LW / MacCormack

Линейный перенос u_t + cu_x = 0 на периодической сетке: сравните диффузию upwind, дисперсионный звон Lax–Wendroff и MacCormack, точный сдвиг импульса, L2-ошибку и CFL ν.

Запустить симулятор

НовоеУниверситет / научные

FEM-решатель Пуассона (2D)

Треугольные P1-элементы для -Δu=f на квадрате: сборка матриц жёсткости, закреплённые Dirichlet-узлы или естественный Neumann-поток, CG-решение и потенциал как цветная мембрана.

Запустить симулятор

НовоеУниверситет / научные

Многосеточная релаксация

Динамика ошибки для 1D Пуассона: Jacobi и Gauss-Seidel сглаживают высокие частоты, а V-cycle через restriction residual и coarse-grid correction быстро убирает низкие моды.

Запустить симулятор

НовоеУниверситет / научные

Гауссовский процесс: регрессия

Интерактивная GP-регрессия с RBF и Matérn ядрами: настройте length-scale и шум, добавляйте наблюдения кликом, смотрите posterior mean, полосу неопределённости и active sampling по max variance.

Запустить симулятор

НовоеУниверситет / научные