Почему явная схема взрывается при r > 1/2?

Фурье-моды ошибки умножаются за шаг на **G(k)=1−4r sin²(kΔx/2)**. Для высокочастотных мод и **r > 1/2** получается **|G| > 1**, поэтому даже округление или маленький шахматный шум растут, хотя настоящее уравнение теплопроводности должно всё сглаживать.

Если неявная схема устойчива при любом r, почему не брать огромный шаг?

Устойчивость не равна точности. Большой **r** чрезмерно демпфирует моды и может размазать переходный процесс. Неявные методы позволяют большие устойчивые шаги, но **Δt** всё равно выбирают по требуемой точности и характерным временам задачи.

Какие граничные условия используются?

На обоих концах стоит **u=0** (однородные условия Дирихле), как у стержня, концы которого закреплены в тепловой ванне. Формулы применяются только к внутренним узлам сетки.

Уравнение теплопроводности: конечные разности

1D u_t = αu_xx: явная FTCS и неявная схема Эйлера назад; меняйте CFL r = αΔt/Δx², наблюдайте взрыв явной схемы при r > 1/2 и сравнивайте численную диффузию.

Конечные разности

Схема

Начальное условие

CFL r = αΔt/Δx²0.42

Шагов времени за кадр2

FTCS: u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i−1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n), при r>1/2 высокочастотные моды растут. Эйлер назад решает трёхдиагональную систему и устойчив при любом r, но сильнее размазывает профиль.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — пуск / пауза
P — пауза / продолжить
R — сброс

Измеренные величины

r0.42

Δt (α=1)4.20e-5

max |u|1.000

∫u² dx9.71e-2

CFL явной схемыok

О модели

Симулятор решает одномерное уравнение теплопроводности u_t = αu_xx на 0 ≤ x ≤ 1 с фиксированными нулевыми температурами на краях. Пространственная производная заменена стандартной второй разностью на равномерной сетке, а главный безразмерный параметр — CFL / диффузионное число r = αΔt/Δx². Явная FTCS использует формулу u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i-1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n); анализ фон Неймана даёт классический предел устойчивости r ≤ 1/2. При r > 1/2 малые чередующиеся компоненты в начальных данных растут и превращаются в характерный «пилообразный» взрыв. Неявная схема Эйлера назад решает (I−rL)u^{n+1}=u^n трёхдиагональной прогонкой. Для диффузии она безусловно устойчива, поэтому большой r не взрывается, но профиль сильнее размазывается и точность по времени падает. Верхний график показывает текущий профиль температуры; нижняя полоска — недавнюю историю во времени.

Для кого: Студенты численных PDE, scientific computing, теплопередачи и вычислительной физики, изучающие конечные разности, CFL-ограничения и явные/неявные шаги по времени.

Ключевые понятия

Уравнение теплопроводности
Конечные разности
FTCS
Эйлер назад
Условие CFL
Устойчивость фон Неймана
Трёхдиагональная прогонка
Численная диффузия

Как это работает

u_t = αu_xx на 1D стержне с u=0 на краях. Явная FTCS использует r = αΔt/Δx² и устойчива только при r ≤ 1/2; при большем r маленький шахматный шум взрывается. Неявный Эйлер назад решает трёхдиагональную систему и не взрывается, но сильнее сглаживает.

Основные формулы

u_t = αu_xx, r = αΔt/Δx². Explicit: u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i-1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n), stable for r ≤ 1/2. Implicit backward Euler solves (I−rL)u^{n+1}=u^n.

Часто задаваемые вопросы

Почему явная схема взрывается при r > 1/2?: Фурье-моды ошибки умножаются за шаг на G(k)=1−4r sin²(kΔx/2). Для высокочастотных мод и r > 1/2 получается |G| > 1, поэтому даже округление или маленький шахматный шум растут, хотя настоящее уравнение теплопроводности должно всё сглаживать.
Если неявная схема устойчива при любом r, почему не брать огромный шаг?: Устойчивость не равна точности. Большой r чрезмерно демпфирует моды и может размазать переходный процесс. Неявные методы позволяют большие устойчивые шаги, но Δt всё равно выбирают по требуемой точности и характерным временам задачи.
Какие граничные условия используются?: На обоих концах стоит u=0 (однородные условия Дирихле), как у стержня, концы которого закреплены в тепловой ванне. Формулы применяются только к внутренним узлам сетки.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Схемы переноса: upwind / LW / MacCormack

Запустить симулятор

Линейный перенос u_t + cu_x = 0 на периодической сетке: сравните диффузию upwind, дисперсионный звон Lax–Wendroff и MacCormack, точный сдвиг импульса, L2-ошибку и CFL ν.

НовоеУниверситет / научные

Области устойчивости Рунге–Кутты

Запустить симулятор

Абсолютная устойчивость в плоскости z = hλ для явного Эйлера, RK2 и RK4: двигайте λ и h, сравнивайте |R(z)| и смотрите, почему жёсткие моды требуют малых явных шагов.

НовоеУниверситет / научные

Finite-volume advection-diffusion 2D

Запустить симулятор

Консервативный перенос скаляра на 2D-сетке: face fluxes, upwind vs central interpolation, Peclet number, CFL и численная диффузия.

НовоеУниверситет / научные

Оптимизаторы градиентного спуска

Запустить симулятор

Сравнение SGD, momentum и Adam на 2D loss landscape: learning rate, curvature, устойчивость и траектории итераций.

НовоеУниверситет / научные

FEM-решатель Пуассона (2D)

Запустить симулятор

Треугольные P1-элементы для -Δu=f на квадрате: сборка матриц жёсткости, закреплённые Dirichlet-узлы или естественный Neumann-поток, CG-решение и потенциал как цветная мембрана.

НовоеУниверситет / научные

Хемотаксис Келлера–Сегела

Запустить симулятор

n по градиенту c; секреция αn, распад βc; коллапс при большом χ; сетка 96².

Уравнение теплопроводности: конечные разности

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Схемы переноса: upwind / LW / MacCormack

Области устойчивости Рунге–Кутты

Finite-volume advection-diffusion 2D

Оптимизаторы градиентного спуска

FEM-решатель Пуассона (2D)

Хемотаксис Келлера–Сегела

Уравнение теплопроводности: конечные разности

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы