Почему явная схема взрывается при r > 1/2?

Фурье-моды ошибки умножаются за шаг на G(k) = 1 − 4r sin²(kΔx/2). Для высокочастотных мод и r > 1/2 получается |G| > 1, поэтому даже округление или маленький шахматный шум растут, хотя настоящее уравнение теплопроводности должно всё сглаживать.

Если неявная схема устойчива при любом r, почему не брать огромный шаг?

Устойчивость не равна точности. Большой r чрезмерно демпфирует моды и может размазать переходный процесс. Неявные методы позволяют большие устойчивые шаги, но Δt всё равно выбирают по требуемой точности и характерным временам задачи.

Какие граничные условия используются?

На обоих концах стоит u = 0 (однородные условия Дирихле), как у стержня, концы которого закреплены в тепловой ванне. Формулы применяются только к внутренним узлам сетки.

Уравнение теплопроводности: конечные разности

Одномерное u_t = αu_xx: явная FTCS и неявная схема Эйлера назад; меняйте r = αΔt/Δx², наблюдайте взрыв явной схемы при r > 1/2 и сравнивайте численную диффузию.

Конечные разности

Схема

Начальное условие

CFL r = αΔt/Δx²0.42

Шагов времени за кадр2

FTCS: u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i−1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n), при r>1/2 высокочастотные моды растут. Эйлер назад решает трёхдиагональную систему и устойчив при любом r, но сильнее размазывает профиль.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — пуск / пауза
P — пауза / продолжить
R — сброс

Измеренные величины

r0.42

Δt (α=1)4.20e-5

max |u|1.000

∫u² dx9.71e-2

CFL явной схемыok

О модели

Уравнение теплопроводности u_t = α u_xx описывает выравнивание температуры вдоль стержня. На отрезке 0 ≤ x ≤ 1 края закреплены: u = 0. Вторая производная заменена стандартной разностью на равномерной сетке; главный безразмерный параметр — диффузионное число r = αΔt/Δx². Явная схема FTCS: u_i^{n+1} = u_i^n + r(u_{i-1}^n − 2u_i^n + u_{i+1}^n); анализ фон Неймана даёт предел устойчивости r ≤ 1/2. При r > 1/2 высокочастотные чередующиеся компоненты растут — характерный «пилообразный» взрыв. Неявная схема Эйлера назад решает (I − rL)u^{n+1} = u^n трёхдиагональной прогонкой: для диффузии она безусловно устойчива, большой r не взрывается, но профиль сильнее размазывается. Верхний график — текущий профиль, нижняя полоска — недавняя история.

Для кого: Численные методы для уравнений в частных производных: конечные разности, устойчивость, явные и неявные схемы.

Ключевые понятия

уравнение теплопроводности
конечные разности
FTCS
Эйлер назад
условие Куранта
устойчивость фон Неймана
трёхдиагональная прогонка
численная диффузия

Как это работает

Уравнение теплопроводности u_t = αu_xx на одномерном стержне с u=0 на краях. Явная FTCS использует r = αΔt/Δx² и устойчива только при r ≤ 1/2; при большем r маленький шахматный шум взрывается. Неявный Эйлер назад решает трёхдиагональную систему и не взрывается, но сильнее сглаживает.

Основные формулы

u_t = αu_xx, r = αΔt/Δx². Explicit: u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i-1}^n−2u_i^n+u_{i+1}^n), stable for r ≤ 1/2. Implicit backward Euler solves (I−rL)u^{n+1}=u^n.

Часто задаваемые вопросы

Почему явная схема взрывается при r > 1/2?: Фурье-моды ошибки умножаются за шаг на G(k) = 1 − 4r sin²(kΔx/2). Для высокочастотных мод и r > 1/2 получается |G| > 1, поэтому даже округление или маленький шахматный шум растут, хотя настоящее уравнение теплопроводности должно всё сглаживать.
Если неявная схема устойчива при любом r, почему не брать огромный шаг?: Устойчивость не равна точности. Большой r чрезмерно демпфирует моды и может размазать переходный процесс. Неявные методы позволяют большие устойчивые шаги, но Δt всё равно выбирают по требуемой точности и характерным временам задачи.
Какие граничные условия используются?: На обоих концах стоит u = 0 (однородные условия Дирихле), как у стержня, концы которого закреплены в тепловой ванне. Формулы применяются только к внутренним узлам сетки.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Схемы переноса: против потока / LW / MacCormack

Запустить симулятор

Линейный перенос u_t + c u_x = 0 на периодической сетке: диффузия схемы против потока, дисперсионный звон Лакса–Вендроффа и Маккормака, точный сдвиг импульса, L2-ошибка и число Куранта ν.

НовоеУниверситет / научные

Области устойчивости Рунге–Кутты

Запустить симулятор

Абсолютная устойчивость в плоскости z = hλ для явного Эйлера, RK2 и RK4: двигайте λ и h, сравнивайте |R(z)| и смотрите, почему жёсткие моды требуют малых явных шагов.

НовоеУниверситет / научные

Метод конечных объёмов: перенос и диффузия

Запустить симулятор

Консервативный перенос скаляра на 2D-сетке: потоки через грани, схема против потока или центральная интерполяция, число Пекле, CFL и численная диффузия.

НовоеУниверситет / научные

Оптимизаторы градиентного спуска

Запустить симулятор

Сравнение SGD, момента и Adam на двумерном рельефе функции потерь: шаг обучения, кривизна, устойчивость и траектории итераций.

НовоеУниверситет / научные

МКЭ: уравнение Пуассона (2D)

Запустить симулятор

Треугольные P1-элементы для −Δu = f на квадрате: сборка матриц жёсткости, закреплённые узлы Дирихле или естественный поток Неймана, решение методом сопряжённых градиентов, потенциал как цветная мембрана.

НовоеУниверситет / научные

Хемотаксис Келлера–Сегела

Запустить симулятор

n по градиенту c; секреция αn, распад βc; коллапс при большом χ; сетка 96².

Уравнение теплопроводности: конечные разности

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Схемы переноса: против потока / LW / MacCormack

Области устойчивости Рунге–Кутты

Метод конечных объёмов: перенос и диффузия

Оптимизаторы градиентного спуска

МКЭ: уравнение Пуассона (2D)

Хемотаксис Келлера–Сегела

Уравнение теплопроводности: конечные разности

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы