Qu’est-ce que l’effondrement chimiotactique ?

Si χ est grand, les équations continues peuvent exploser en temps fini : presque toute la masse dans un pic étroit. Sur la grille, c’est la croissance de max(n) et une tache brillante — analogue discret d’une singularité.

Pourquoi des conditions aux limites périodiques ?

Elles simplifient le laplacien et la divergence aux bords, pour observer l’agrégation en volume. Dans une boîte de Petri, les parois sont à flux nul ; qualitativement, le schéma est voisin.

Quel est l’effet de α et de β ?

Plus de α ou moins de β — niveau de c plus haut et gradients plus raides, attraction plus forte. Un β grand lave le signal plus vite.

Pourquoi le schéma explose-t-il si χ est trop grand ?

Euler explicite est instable si χ ou Δt est trop grand. Les cas sont choisis pour un effondrement lisible ; si le champ devient bruité, diminuez χ ou le pas et réensemencez.

Chimiotaxie de Keller–Segel

n suit le gradient de c ; sécrétion αn, dégradation βc ; effondrement si χ est grand ; grille 96².

À propos du modèle

La chimiotaxie de Keller–Segel est le modèle minimal : la densité cellulaire n se déplace vers le haut du gradient d’attractant c, qu’elle sécrète elle-même. Sur une grille périodique 96×96 : ∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c) et ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc. Une « colonie » centrale émet c, est attirée vers les maxima et s’agglutine en taches. Si χ dépasse un seuil critique (qui dépend de la masse), le continuum peut s’effondrer — concentration de n en un pic aigu ; sur la grille, max n croît. Un χ plus petit donne une agrégation douce. Schéma — Euler explicite ; cas « effondrement », « agrégation », « χ faible » ; éventuellement un surlignage du champ c.

Public : Biologie mathématique et EDP : mouvement dirigé, agrégation et effondrement de la densité.

Notions clés

modèle de Keller–Segel
chimiotaxie
gradient d’attractant
effondrement chimiotactique
réaction–diffusion
densité cellulaire
paramètre critique χ

Comment ça marche

Densité bactérienne n et attractant c sur une grille : ∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c), ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc. Les cellules dérivent vers le haut de ∇c, en sécrétant c. Si χ est grand — agrégation et effondrement (croissance de max n). Couleur — log(1+n) ; cas « effondrement » ; conditions périodiques.

Formules

∂ₜn = Dₙ∇²n − χ∇·(n∇c) = Dₙ∇²n − χ(∇n·∇c + n∇²c) · ∂ₜc = D_c∇²c + αn − βc

Questions fréquentes

Qu’est-ce que l’effondrement chimiotactique ?: Si χ est grand, les équations continues peuvent exploser en temps fini : presque toute la masse dans un pic étroit. Sur la grille, c’est la croissance de max(n) et une tache brillante — analogue discret d’une singularité.
Pourquoi des conditions aux limites périodiques ?: Elles simplifient le laplacien et la divergence aux bords, pour observer l’agrégation en volume. Dans une boîte de Petri, les parois sont à flux nul ; qualitativement, le schéma est voisin.
Quel est l’effet de α et de β ?: Plus de α ou moins de β — niveau de c plus haut et gradients plus raides, attraction plus forte. Un β grand lave le signal plus vite.
Pourquoi le schéma explose-t-il si χ est trop grand ?: Euler explicite est instable si χ ou Δt est trop grand. Les cas sont choisis pour un effondrement lisible ; si le champ devient bruité, diminuez χ ou le pas et réensemencez.

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