Почему схема против потока размазывает импульс?

При положительной скорости схема против потока заменяет производную смещённой назад разностью. В модифицированном уравнении появляется искусственный диффузионный член, пропорциональный (1 − ν)Δx, поэтому разрывы гасятся и расширяются вместо точного переноса.

Почему схемы Лакса–Вендроффа и Маккормака дают выбросы около скачков?

Это схемы второго порядка с меньшей диффузией. Около разрыва высокочастотные компоненты получают фазовые ошибки, что даёт дисперсионный звон. Тот же конфликт монотонности и высокой точности решают ограничители полной вариации и современные схемы повышенной разрешающей способности.

Что здесь означает число Куранта ν?

ν = cΔt/Δx — сколько ячеек проходит информация за один временной шаг. Для этих явных схем линейного переноса базовая область устойчивости примерно ν ≤ 1. При большем ν численная область зависимости не успевает за уравнением.

Схемы переноса: против потока / LW / MacCormack

Линейный перенос u_t + c u_x = 0 на периодической сетке: диффузия схемы против потока, дисперсионный звон Лакса–Вендроффа и Маккормака, точный сдвиг импульса, L2-ошибка и число Куранта ν.

Схемы переноса

Начальный импульс

Показывать

CFL ν = cΔt/Δx0.8

Шагов времени за кадр2

Upwind монотонна, но диффузна; Lax–Wendroff и MacCormack второго порядка и резче, но на разрывах дают перерегулирование и осцилляции. Границы периодические, c>0.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — пуск / пауза
P — пауза / продолжить
R — сброс

Измеренные величины

время t0.000

Δt (c=1)3.64e-3

масса0.200

L2 err upwind0.000

L2 err L-W0.000

L2 err Mac0.000

О модели

Линейное уравнение переноса u_t + c u_x = 0 с постоянной скоростью на периодической одномерной сетке имеет точное решение — сдвиг начального импульса, поэтому численные артефакты видны сразу. Схема первого порядка против потока берёт значение с набегающей стороны и монотонна при ν = cΔt/Δx ≤ 1, но вносит численную диффузию: прямоугольные импульсы размазываются. Схема Лакса–Вендроффа добавляет поправку второго порядка и лучше держит фронт, но на разрывах даёт дисперсионный звон — перерегулирование и провалы. Схема Маккормака (предиктор–корректор) для гладких волн тоже второго порядка и с похожим звоном на резких фронтах. Три схемы идут параллельно, поверх наложен точный сдвиг; внизу — поточечная ошибка.

Для кого: Численные методы для уравнений переноса: условие Куранта, монотонность и схемы второго порядка.

Ключевые понятия

линейный перенос
схема против потока
схема Лакса–Вендроффа
схема Маккормака
условие Куранта
численная диффузия
численная дисперсия
конечные разности

Как это работает

u_t + c u_x = 0 на периодической 1D-сетке: белый пунктир — точный сдвиг импульса. Схема против потока монотонна, но размазывает; Lax–Wendroff и MacCormack второго порядка резче на гладких местах, но около разрывов дают дисперсионный звон. Ползунок ν = cΔt/Δx показывает предел CFL ≤ 1.

Основные формулы

u_t + c u_x = 0, ν = cΔt/Δx. Upwind: u_i^{n+1}=u_i^n−ν(u_i^n−u_{i−1}^n). Lax-Wendroff adds (ν²/2)(u_{i+1}−2u_i+u_{i−1}); MacCormack uses predictor-corrector. Stable range here: roughly ν ≤ 1.

Часто задаваемые вопросы

Почему схема против потока размазывает импульс?: При положительной скорости схема против потока заменяет производную смещённой назад разностью. В модифицированном уравнении появляется искусственный диффузионный член, пропорциональный (1 − ν)Δx, поэтому разрывы гасятся и расширяются вместо точного переноса.
Почему схемы Лакса–Вендроффа и Маккормака дают выбросы около скачков?: Это схемы второго порядка с меньшей диффузией. Около разрыва высокочастотные компоненты получают фазовые ошибки, что даёт дисперсионный звон. Тот же конфликт монотонности и высокой точности решают ограничители полной вариации и современные схемы повышенной разрешающей способности.
Что здесь означает число Куранта ν?: ν = cΔt/Δx — сколько ячеек проходит информация за один временной шаг. Для этих явных схем линейного переноса базовая область устойчивости примерно ν ≤ 1. При большем ν численная область зависимости не успевает за уравнением.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Метод конечных объёмов: перенос и диффузия

Запустить симулятор

Консервативный перенос скаляра на 2D-сетке: потоки через грани, схема против потока или центральная интерполяция, число Пекле, CFL и численная диффузия.

НовоеУниверситет / научные

Уравнение теплопроводности: конечные разности

Запустить симулятор

Одномерное u_t = αu_xx: явная FTCS и неявная схема Эйлера назад; меняйте r = αΔt/Δx², наблюдайте взрыв явной схемы при r > 1/2 и сравнивайте численную диффузию.

НовоеУниверситет / научные