Почему upwind размазывает импульс?

При положительной скорости upwind заменяет производную смещённой назад разностью. В модифицированном уравнении появляется искусственный диффузионный член, пропорциональный **(1−ν)Δx**, поэтому разрывы гасятся и расширяются вместо точного переноса.

Почему Lax–Wendroff и MacCormack дают выбросы около скачков?

Это схемы второго порядка с меньшей диффузией. Около разрыва высокочастотные компоненты получают фазовые ошибки, что даёт дисперсионный звон. Это тот же конфликт монотонности и высокой точности, который решают TVD-ограничители и современные high-resolution схемы.

Что здесь означает CFL ν?

**ν = cΔt/Δx** — сколько ячеек проходит информация за один временной шаг. Для этих явных схем линейного переноса базовая область устойчивости примерно **ν ≤ 1**. При большем ν численная область зависимости не успевает за PDE.

Схемы переноса: upwind / LW / MacCormack

Линейный перенос u_t + cu_x = 0 на периодической сетке: сравните диффузию upwind, дисперсионный звон Lax–Wendroff и MacCormack, точный сдвиг импульса, L2-ошибку и CFL ν.

Схемы переноса

Начальный импульс

Показывать

CFL ν = cΔt/Δx0.8

Шагов времени за кадр2

Upwind монотонна, но диффузна; Lax–Wendroff и MacCormack второго порядка и резче, но на разрывах дают перерегулирование и осцилляции. Границы периодические, c>0.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — пуск / пауза
P — пауза / продолжить
R — сброс

Измеренные величины

время t0.000

Δt (c=1)3.64e-3

масса0.200

L2 err upwind0.000

L2 err L-W0.000

L2 err Mac0.000

О модели

Симулятор решает линейное уравнение переноса с постоянной скоростью u_t + c u_x = 0 на периодической одномерной сетке. Точное решение — это просто сдвинутый начальный импульс, поэтому численные артефакты видны сразу. Схема первого порядка upwind берёт информацию с набегающей стороны и монотонна при ν = cΔt/Δx ≤ 1, но вносит численную диффузию: прямоугольные импульсы заметно размазываются. Lax–Wendroff добавляет поправку второго порядка и сильнее сохраняет фронт, но на разрывах появляются дисперсионные осцилляции — перерегулирование и провалы. MacCormack — predictor-corrector схема, для гладких волн также второго порядка и с похожим звоном на резких фронтах. Страница продвигает все три схемы параллельно, накладывает точный сдвиг и показывает поточечную ошибку в нижней панели.

Для кого: Студенты численных PDE, CFD, переноса сигналов и вычислительной физики, изучающие CFL, upwind и компромисс между монотонностью и точностью второго порядка.

Ключевые понятия

Линейный перенос
Upwind
Lax-Wendroff
MacCormack
Условие CFL
Численная диффузия
Численная дисперсия
Конечные разности

Как это работает

u_t + c u_x = 0 на периодической 1D-сетке: белый пунктир — точный сдвиг импульса. Upwind монотонна, но размазывает; Lax–Wendroff и MacCormack второго порядка резче на гладких местах, но около разрывов дают дисперсионный звон. Ползунок ν = cΔt/Δx показывает предел CFL ≤ 1.

Основные формулы

u_t + c u_x = 0, ν = cΔt/Δx. Upwind: u_i^{n+1}=u_i^n−ν(u_i^n−u_{i−1}^n). Lax-Wendroff adds (ν²/2)(u_{i+1}−2u_i+u_{i−1}); MacCormack uses predictor-corrector. Stable range here: roughly ν ≤ 1.

Часто задаваемые вопросы

Почему upwind размазывает импульс?: При положительной скорости upwind заменяет производную смещённой назад разностью. В модифицированном уравнении появляется искусственный диффузионный член, пропорциональный (1−ν)Δx, поэтому разрывы гасятся и расширяются вместо точного переноса.
Почему Lax–Wendroff и MacCormack дают выбросы около скачков?: Это схемы второго порядка с меньшей диффузией. Около разрыва высокочастотные компоненты получают фазовые ошибки, что даёт дисперсионный звон. Это тот же конфликт монотонности и высокой точности, который решают TVD-ограничители и современные high-resolution схемы.
Что здесь означает CFL ν?: ν = cΔt/Δx — сколько ячеек проходит информация за один временной шаг. Для этих явных схем линейного переноса базовая область устойчивости примерно ν ≤ 1. При большем ν численная область зависимости не успевает за PDE.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Finite-volume advection-diffusion 2D

Запустить симулятор

Консервативный перенос скаляра на 2D-сетке: face fluxes, upwind vs central interpolation, Peclet number, CFL и численная диффузия.

НовоеУниверситет / научные

Уравнение теплопроводности: конечные разности

Запустить симулятор

1D u_t = αu_xx: явная FTCS и неявная схема Эйлера назад; меняйте CFL r = αΔt/Δx², наблюдайте взрыв явной схемы при r > 1/2 и сравнивайте численную диффузию.

НовоеУниверситет / научные