Почему метод конечных объёмов считает потоки через грани?

Интегральный закон сохранения говорит, что среднее в ячейке меняется из-за потока через её границы. Численные потоки через грани делают сохранение локальным и явным.

Почему центральные разности могут осциллировать?

Когда перенос доминирует над диффузией, сеточное число Пекле велико, а центральная интерполяция не даёт достаточного численного демпфирования. Схема против потока берёт значение сверху по течению и стабилизирует перенос ценой дополнительной диффузии.

Что контролирует CFL?

Число Куранта–Фридрихса–Леви связывает шаг по времени, шаг сетки и скорость: слишком большой шаг даёт неустойчивость явной схемы. На холсте CFL показано рядом с Δt.

Метод конечных объёмов: перенос и диффузия

Консервативный перенос скаляра на 2D-сетке: потоки через грани, схема против потока или центральная интерполяция, число Пекле, CFL и численная диффузия.

Демо использует периодические границы и явный шаг времени из простых CFL/diffusion limits. Central differencing может давать wiggles при высоком Peclet number, а upwind более bounded, но более diffusive.

Графики

О модели

Перенос и диффузия скаляра на сетке записываются как баланс потоков через грани контрольного объёма. Решается уравнение ∂φ/∂t + ∇·(uφ) = ∇·(Γ∇φ) на периодической двумерной сетке; потоки считаются на восточной, западной, северной и южной гранях. Схема против потока более диссипативна, но лучше сохраняет ограниченность; центральные разности резче, но могут осциллировать при большом сеточном числе Пекле. На холсте — скалярное поле, вектор скорости, примеры потоков, числа Куранта и Пекле. Меняются |u|, направление, коэффициент диффузии Γ и выбор схемы.

Для кого: Научные вычисления, вычислительная гидродинамика, численные уравнения в частных производных и явления переноса.

Ключевые понятия

метод конечных объёмов
поток через грань
схема против потока
центральные разности
число Пекле
число Куранта

Как это работает

Метод конечных объёмов хранит среднее φ в каждой ячейке и обновляет его балансом потоков через грани: ∂φ/∂t + ∇·(uφ)=∇·(Γ∇φ). На грани нужно выбрать φ_f: схема против потока берёт значение сверху по потоку и устойчива, но размазывает решение; центральная схема берёт среднее соседних ячеек и даёт более резкий профиль, однако при большом Pe=|u|Δx/Γ может осциллировать. На холсте видны скалярное поле, потоки через грани, CFL и число Пекле.

Основные формулы

∂φ/∂t + ∇·(uφ) = ∇·(Γ∇φ), интеграл по каждому control volume

Face flux: F_e φ_e − Γ(φ_E−φ_P)/Δx; Pe = |u|Δx/Γ

Часто задаваемые вопросы

Почему метод конечных объёмов считает потоки через грани?: Интегральный закон сохранения говорит, что среднее в ячейке меняется из-за потока через её границы. Численные потоки через грани делают сохранение локальным и явным.
Почему центральные разности могут осциллировать?: Когда перенос доминирует над диффузией, сеточное число Пекле велико, а центральная интерполяция не даёт достаточного численного демпфирования. Схема против потока берёт значение сверху по течению и стабилизирует перенос ценой дополнительной диффузии.
Что контролирует CFL?: Число Куранта–Фридрихса–Леви связывает шаг по времени, шаг сетки и скорость: слишком большой шаг даёт неустойчивость явной схемы. На холсте CFL показано рядом с Δt.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Схемы переноса: против потока / LW / MacCormack

Запустить симулятор

Линейный перенос u_t + c u_x = 0 на периодической сетке: диффузия схемы против потока, дисперсионный звон Лакса–Вендроффа и Маккормака, точный сдвиг импульса, L2-ошибка и число Куранта ν.

НовоеУниверситет / научные

Уравнение теплопроводности: конечные разности

Запустить симулятор

Одномерное u_t = αu_xx: явная FTCS и неявная схема Эйлера назад; меняйте r = αΔt/Δx², наблюдайте взрыв явной схемы при r > 1/2 и сравнивайте численную диффузию.

НовоеУниверситет / научные

Хемотаксис Келлера–Сегела

Запустить симулятор

n по градиенту c; секреция αn, распад βc; коллапс при большом χ; сетка 96².

НовоеУниверситет / научные

МКЭ: уравнение Пуассона (2D)

Запустить симулятор

Треугольные P1-элементы для −Δu = f на квадрате: сборка матриц жёсткости, закреплённые узлы Дирихле или естественный поток Неймана, решение методом сопряжённых градиентов, потенциал как цветная мембрана.

НовоеУниверситет / научные

Осцилляции MinD/MinE (E. coli)

Запустить симулятор

Одномерная реакция–диффузия на стержне; колебания от полюса к полюсу; плоскость деления в минимуме среднего MinD.

НовоеДети

Оценка числа π методом Монте-Карло

Запустить симулятор

Равномерные случайные точки в квадрате; оценка π ≈ 4·(точки в круге)/N.

Метод конечных объёмов: перенос и диффузия

Графики

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Схемы переноса: против потока / LW / MacCormack

Уравнение теплопроводности: конечные разности

Хемотаксис Келлера–Сегела

МКЭ: уравнение Пуассона (2D)

Осцилляции MinD/MinE (E. coli)

Оценка числа π методом Монте-Карло

Метод конечных объёмов: перенос и диффузия

Графики

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы