Визуализация изолирует главную идею multigrid на одномерной задаче Пуассона −u″=f, u(0)=u(1)=0, с известным точным решением из низко- и высокочастотной синус-моды. При старте с нуля обычные релаксации Jacobi и Gauss–Seidel быстро гасят высокочастотную ошибку, поэтому их называют сглаживателями. Оставшаяся гладкая низкочастотная ошибка на тонкой сетке убывает очень медленно. V-cycle исправляет это: считает residual r=f−Au, ограничивает его на грубые сетки, где гладкая ошибка тонкой сетки становится более осциллирующей и дешёвой для решения, затем продолжает поправку обратно. Верхняя панель показывает текущую ошибку u−u\* для Jacobi, Gauss–Seidel и multigrid; нижняя — логарифмическую историю L2-ошибки.
Для кого: Студенты численных PDE и scientific computing, изучающие релаксацию, сглаживатели, residual correction, restriction/prolongation и причину почти сеточно-независимой сходимости multigrid.
Ключевые понятия
Multigrid
Релаксация Jacobi
Gauss-Seidel
V-cycle
Поправка на грубой сетке
Residual
Restriction
Prolongation
Как это работает
Для 1D −u″=f сравниваются Jacobi, Gauss–Seidel и V-cycle multigrid. Релаксация быстро сглаживает высокочастотную ошибку, но медленно убирает гладкую низкую частоту; multigrid ограничивает residual на грубую сетку, решает поправку и продолжает её обратно.
Основные формулы
Solve −u″=f, u(0)=u(1)=0. Relaxation damps oscillatory error; multigrid computes residual r=f−Au, restricts it to coarse grids, solves Ae=r, and prolongs the correction u←u+e.
Часто задаваемые вопросы
Почему Jacobi и Gauss-Seidel сначала убирают высокие частоты?
Локальная релаксация обновляет точку из соседних значений. Осциллирующая ошибка создаёт большие локальные несогласованности и быстро гасится. Гладкая низкочастотная ошибка локально почти согласована, поэтому тонкая сетка меняет её медленно.
Что делает грубая сетка?
Гладкая ошибка на тонкой сетке становится менее гладкой относительно грубой сетки. Решение residual-уравнения там даёт глобальную поправку дешево, после чего интерполяция возвращает поправку на тонкую сетку.
Это промышленный multigrid?
Нет. Это компактный геометрический V-cycle для 1D оператора Пуассона. Реальные решатели добавляют более аккуратные операторы переноса, граничные условия, адаптивные критерии остановки, выбор smoother и расширение на сложные 2D/3D сетки.