Динамика ошибки для одномерного уравнения Пуассона: Якоби и Гаусс–Зейдель сглаживают высокие частоты, а V-цикл через ограничение невязки и поправку на грубой сетке быстро убирает низкие моды.
О модели
Многосеточная релаксация на одномерной задаче Пуассона −u″ = f, u(0) = u(1) = 0, с известным точным решением из низко- и высокочастотной синус-моды. При старте с нуля релаксации Якоби и Гаусса–Зейделя быстро гасят высокочастотную ошибку — это сглаживатели. Оставшаяся гладкая низкочастотная ошибка на мелкой сетке убывает медленно. V-цикл считает невязку r = f − Au, ограничивает её на грубые сетки, где гладкая ошибка становится более осциллирующей и дешёвой, затем продолжает поправку обратно. Верхняя панель — текущая ошибка u − u* для Якоби, Гаусса–Зейделя и многосетки; нижняя — логарифмическая история L2-ошибки.
Для кого: Численные уравнения в частных производных: релаксация, сглаживатели, поправка по невязке, ограничение и продолжение.
Ключевые понятия
многосеточный метод
метод Якоби
метод Гаусса–Зейделя
V-цикл
поправка на грубой сетке
невязка
ограничение
продолжение
Как это работает
Для 1D −u″=f сравниваются Jacobi, Gauss–Seidel и V-cycle multigrid. Релаксация быстро сглаживает высокочастотную ошибку, но медленно убирает гладкую низкую частоту; multigrid ограничивает residual на грубую сетку, решает поправку и продолжает её обратно.
Основные формулы
Solve −u″=f, u(0)=u(1)=0. Relaxation damps oscillatory error; multigrid computes residual r=f−Au, restricts it to coarse grids, solves Ae=r, and prolongs the correction u←u+e.
Часто задаваемые вопросы
Почему Якоби и Гаусс–Зейдель сначала убирают высокие частоты?
Локальная релаксация обновляет узел по соседям. Осциллирующая ошибка даёт большие локальные невязки и быстро гасится. Гладкая низкочастотная ошибка локально почти согласована, поэтому мелкая сетка меняет её медленно.
Что делает грубая сетка?
Гладкая ошибка на мелкой сетке становится менее гладкой относительно грубой. Решение уравнения для невязки там даёт дешёвую глобальную поправку; интерполяция возвращает её на мелкую сетку.
Это промышленная многосетка?
Нет. Геометрический V-цикл для одномерного оператора Пуассона. Промышленные решатели добавляют аккуратные операторы переноса, граничные условия, критерии остановки, выбор сглаживателя и выход на сложные двумерные и трёхмерные сетки.