Почему запасы могут не совпасть с примером из учебника?

У реальных **L(jω)** бывает несколько пересечений **0 дБ** или **−180°**. Разные источники выбирают разные пересечения. Здесь зафиксировано правило **первых пересечений при увеличении ω** и берётся **минимальный** фазовый запас и **минимальный** запас по усилению среди найденных — как простая «наихудшая среди очевидных» эвристика.

Что даёт несколько полюсов в нуле?

Каждый интегратор поднимает низкочастотное усиление и добавляет **−90°** фазы. У **ω → 0** график может «уходить в бесконечность», а на годографе нужны **вмятины** вокруг начала координат, которые этот эскиз **не** рисует — для контуров **второго типа и выше** годограф качественный. Запасы могут стать **неопределёнными**, если в выбранном диапазоне нет нужных пересечений.

Можно ли ставить нуль в правой полуплоскости?

Да, **G(jω)** остаётся определённой, но **неминимально-фазовый** нуль добавляет «лишнюю» задержку по фазе на средних частотах и часто **съедает** фазовый запас. Критерий Найквиста для замкнутой устойчивости тогда требует аккуратного подсчёта обходов; страница акцентирует **форму** **G(jω)** и точку **−1**, а не полное доказательство.

Как клик превращается в корень?

Координаты указателя переводятся из пикселей в **(σ, ω)** с грубой привязкой к сетке, чтобы сопряжённые пары оставались симметричными. Клик у оси **jω = 0** (в допуске) добавляет **один** вещественный корень; клик вне оси добавляет **два** сопряжённых положения. **Shift+клик** удаляет ближайший к точке корень из списка (полюс или нуль), кроме запрета стереть последний полюс.

Боде и Найквист по карте полюсов/нулей

Клик по s-плоскости: вещественные или сопряжённые пары полюсов (●) и нулей (×); G(s)=K∏(s−z)/∏(s−p). Диаграммы Боде и годограф с точкой −1; запасы по фазе и усилению по первым пересечениям (учебная эвристика).

О модели

Страница собирает скалярную рациональную передаточную функцию G(s) = K ∏(s − z_i) / ∏(s − p_j) с вещественными коэффициентами: каждый комплексный полюс или нуль добавляется сопряжённой парой. Корни задаются кликом по компактной s-плоскости (σ против jω), затем та же модель показывается тремя способами: диаграмма Боде (|G| и фаза по ω на логарифмической шкале), годограф Найквиста G(jω) с опорной точкой −1 для обсуждения единичной обратной связи и численные запас по фазе и запас по усилению. Запасы считаются на плотной логарифмической сетке по ω с развёрткой фазы: ищется первое пересечение 0 дБ при росте ω (для фазового запаса) и первое пересечение −180° развёрнутой фазы (для запаса по усилению). При нескольких пересечениях (условная устойчивость, неминимально-фазовые нули) канонический рецепт неоднозначен; здесь явно указана учебная эвристика — среди найденных пересечений берётся наихудший показатель, а не полный робастный анализ. Дополняет страницы electricity/bode-diagram и electricity/nyquist-diagram.

Для кого: Студенты курсов классической теории управления, знакомые с полюсами и нулями в алгебре и желающие быстро связать их с частотными кривыми и терминологией запасов.

Ключевые понятия

Передаточная функция
Полюс
Нуль
Диаграмма Боде
Годограф Найквиста
Запас по фазе
Запас по усилению
Единичная обратная связь
Неминимально-фазовая система

Как это работает

Карта полюсов и нулей на s-плоскости задаёт G(s)=K∏(s−z)/∏(s−p); Боде и Найквист строятся из одного и того же G(jω). Запасы — по первым пересечениям 0 дБ и −180° на развёрнутой фазе; при нескольких пересечениях это эвристика, не полный робастный анализ.

Основные формулы

G(jω) = K · ∏(jω − zᵢ) / ∏(jω − pⱼ)

PM = 180° + ∠G(jω_gc) at |G(jω_gc)| = 1

GM_dB = −20 log₁₀|G(jω_pc)| at ∠G(jω_pc) = −180° (first crossings, ω increasing)

Часто задаваемые вопросы

Почему запасы могут не совпасть с примером из учебника?: У реальных L(jω) бывает несколько пересечений 0 дБ или −180°. Разные источники выбирают разные пересечения. Здесь зафиксировано правило первых пересечений при увеличении ω и берётся минимальный фазовый запас и минимальный запас по усилению среди найденных — как простая «наихудшая среди очевидных» эвристика.
Что даёт несколько полюсов в нуле?: Каждый интегратор поднимает низкочастотное усиление и добавляет −90° фазы. У ω → 0 график может «уходить в бесконечность», а на годографе нужны вмятины вокруг начала координат, которые этот эскиз не рисует — для контуров второго типа и выше годограф качественный. Запасы могут стать неопределёнными, если в выбранном диапазоне нет нужных пересечений.
Можно ли ставить нуль в правой полуплоскости?: Да, G(jω) остаётся определённой, но неминимально-фазовый нуль добавляет «лишнюю» задержку по фазе на средних частотах и часто съедает фазовый запас. Критерий Найквиста для замкнутой устойчивости тогда требует аккуратного подсчёта обходов; страница акцентирует форму G(jω) и точку −1, а не полное доказательство.
Как клик превращается в корень?: Координаты указателя переводятся из пикселей в (σ, ω) с грубой привязкой к сетке, чтобы сопряжённые пары оставались симметричными. Клик у оси jω = 0 (в допуске) добавляет один вещественный корень; клик вне оси добавляет два сопряжённых положения. Shift+клик удаляет ближайший к точке корень из списка (полюс или нуль), кроме запрета стереть последний полюс.

Близкие темы рядом (в том числе из смежных разделов) — или все 48 в «Инженерия».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Корневой годограф: 1 + K·G(s) = 0

Запустить симулятор

Тот же редактор полюсов/нулей: траектории замкнутых полюсов при логарифмическом сканировании K, асимптоты и участок на вещественной оси, корни Дюрана–Кернера при текущем K; характеристическое D(s)+K g₀ N₀(s)=0.

НовоеУниверситет / научные