Warum können die Ränder von einem Lehrbuchbeispiel abweichen?

Bei wirklichen **L(jω)** gibt es oft mehrere Schnitte mit **0 dB** oder **−180°**. Verschiedene Quellen wählen verschiedene Schnitte. Hier gilt die Regel der **ersten Schnitte bei wachsendem ω**, und genommen werden der **kleinste** Phasenrand und der **kleinste** Amplitudenrand unter den gefundenen — als einfache Heuristik „ungünstigster unter den offensichtlichen“.

Was bewirken mehrere Pole im Ursprung?

Jeder Integrator hebt die Tieffrequenzverstärkung und addiert **−90°** Phase. Bei **ω → 0** kann die Kurve „ins Unendliche laufen“, und auf der Ortskurve braucht man **Einbuchtungen** um den Ursprung, die diese Skizze **nicht** zeichnet — für Kreise **vom Typ 2 und höher** ist die Ortskurve qualitativ. Die Ränder können **unbestimmt** werden, wenn im gewählten Band die nötigen Schnitte fehlen.

Darf man eine Nullstelle in die rechte Halbebene setzen?

Ja, **G(jω)** bleibt definiert, aber eine **nichtminimalphasige** Nullstelle bringt zusätzliche Phasenverzögerung bei mittleren Frequenzen und **verkleinert** oft den Phasenrand. Das Nyquist-Kriterium für die Stabilität des geschlossenen Kreises verlangt dann eine sorgfältige Umlaufzählung; die Seite betont die **Form** von **G(jω)** und den Punkt **−1**, nicht den vollständigen Beweis.

Wie wird aus dem Klick eine Wurzel?

Die Zeigerkoordinaten werden aus Pixeln in **(σ, ω)** übersetzt, grob ans Gitter gebunden, damit konjugierte Paare symmetrisch bleiben. Ein Klick an der Achse **jω = 0** (im Toleranzband) setzt **eine** reelle Wurzel; ein Klick außerhalb setzt **zwei** konjugierte Lagen. **Umschalt+Klick** löscht die der Stelle nächste Wurzel aus der Liste (Pol oder Nullstelle), den letzten Pol dürfen Sie nicht entfernen.

Bode- und Nyquist-Diagramm aus Pol-Nullstellen-Karte

Klick in die s-Ebene: reelle oder konjugiert komplexe Pole (●) und Nullstellen (×); G(s)=K∏(s−z)/∏(s−p). Bode-Diagramm und Ortskurve mit Punkt −1; Phasen- und Amplitudenrand.

Zum Modell

Pole und Nullstellen in der s-Ebene legen den Frequenzgang der offenen Übertragungsfunktion fest. Die skalare rationale Übertragungsfunktion G(s) = K ∏(s − z_i) / ∏(s − p_j) hat reelle Koeffizienten: jeder komplexe Pol oder jede komplexe Nullstelle wird als konjugiertes Paar ergänzt. Die Wurzeln setzt man per Klick in eine kompakte s-Ebene (σ gegen jω); dasselbe Modell erscheint dann dreifach: Bode-Diagramm (|G| und Phase über ω logarithmisch), Nyquist-Ortskurve G(jω) mit Bezugspunkt −1 für die Einheitsrückführung und zahlenmäßiger Phasenrand und Amplitudenrand. Die Ränder werden auf einem dichten logarithmischen ω-Gitter mit abgewickelter Phase bestimmt: gesucht ist der erste 0-dB-Durchtritt bei wachsendem ω (Phasenrand) und der erste Schnitt der abgewickelten Phase mit −180° (Amplitudenrand). Bei mehreren Schnitten (bedingt stabile Kreise, nichtminimalphasige Nullstellen) ist das Schulrezept mehrdeutig; hier gilt ausdrücklich die schulische Heuristik — unter den gefundenen Schnitten der ungünstigste Wert, kein vollständiger Robustheitsnachweis. Ergänzt die Seiten electricity/bode-diagram und electricity/nyquist-diagram.

Für wen: Klassische Regelungstechnik: Pole und Nullstellen, Bode- und Nyquist-Diagramm, Stabilitätsränder.

Wichtige Begriffe

Übertragungsfunktion
Pol
Nullstelle
Bode-Diagramm
Nyquist-Ortskurve
Phasenrand
Amplitudenrand
nichtminimalphasiges System

So funktioniert es

Die Pol-Nullstellen-Karte in der s-Ebene legt G(s)=K∏(s−z)/∏(s−p) fest; Bode und Nyquist entstehen aus demselben G(jω). Die Ränder folgen den ersten Schnitten mit 0 dB und −180° auf der abgewickelten Phase; bei mehreren Schnitten ist das eine Heuristik, kein vollständiger Robustheitsnachweis.

Wichtige Gleichungen

G(jω) = K · ∏(jω − zᵢ) / ∏(jω − pⱼ)

PM = 180° + ∠G(jω_gc) at |G(jω_gc)| = 1

GM_dB = −20 log₁₀|G(jω_pc)| at ∠G(jω_pc) = −180° (first crossings, ω increasing)

Häufige Fragen

Warum können die Ränder von einem Lehrbuchbeispiel abweichen?: Bei wirklichen L(jω) gibt es oft mehrere Schnitte mit 0 dB oder −180°. Verschiedene Quellen wählen verschiedene Schnitte. Hier gilt die Regel der ersten Schnitte bei wachsendem ω, und genommen werden der kleinste Phasenrand und der kleinste Amplitudenrand unter den gefundenen — als einfache Heuristik „ungünstigster unter den offensichtlichen“.
Was bewirken mehrere Pole im Ursprung?: Jeder Integrator hebt die Tieffrequenzverstärkung und addiert −90° Phase. Bei ω → 0 kann die Kurve „ins Unendliche laufen“, und auf der Ortskurve braucht man Einbuchtungen um den Ursprung, die diese Skizze nicht zeichnet — für Kreise vom Typ 2 und höher ist die Ortskurve qualitativ. Die Ränder können unbestimmt werden, wenn im gewählten Band die nötigen Schnitte fehlen.
Darf man eine Nullstelle in die rechte Halbebene setzen?: Ja, G(jω) bleibt definiert, aber eine nichtminimalphasige Nullstelle bringt zusätzliche Phasenverzögerung bei mittleren Frequenzen und verkleinert oft den Phasenrand. Das Nyquist-Kriterium für die Stabilität des geschlossenen Kreises verlangt dann eine sorgfältige Umlaufzählung; die Seite betont die Form von G(jω) und den Punkt −1, nicht den vollständigen Beweis.
Wie wird aus dem Klick eine Wurzel?: Die Zeigerkoordinaten werden aus Pixeln in (σ, ω) übersetzt, grob ans Gitter gebunden, damit konjugierte Paare symmetrisch bleiben. Ein Klick an der Achse jω = 0 (im Toleranzband) setzt eine reelle Wurzel; ein Klick außerhalb setzt zwei konjugierte Lagen. Umschalt+Klick löscht die der Stelle nächste Wurzel aus der Liste (Pol oder Nullstelle), den letzten Pol dürfen Sie nicht entfernen.

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