¿Por qué los márgenes pueden no coincidir con el ejemplo del libro?

En un **L(jω)** real puede haber varios cruces por **0 dB** o por **−180°**. Distintas fuentes eligen cruces distintos. Aquí se fija la regla de los **primeros cruces al crecer ω** y se toma el margen de fase **mínimo** y el de ganancia **mínimo** entre los hallados: una heurística simple de «el peor entre los evidentes».

¿Qué aporta apilar varios polos en el origen?

Cada integrador sube la ganancia a baja frecuencia y añade **−90°** de fase. Cuando **ω → 0** la gráfica puede «irse al infinito», y en el hodógrafo hacen falta **hendiduras** alrededor del origen que este esquema **no** dibuja: para lazos de **tipo 2 o mayor** el hodógrafo es cualitativo. Los márgenes pueden quedar **indefinidos** si en el rango elegido no hay los cruces necesarios.

¿Se puede poner un cero en el semiplano derecho?

Sí, **G(jω)** sigue definida, pero un cero de **fase no mínima** añade un atraso «de más» en frecuencias medias y a menudo **se come** el margen de fase. El criterio de Nyquist para la estabilidad del lazo cerrado pide entonces un conteo cuidadoso de rodeos; la página insiste en la **forma** de **G(jω)** y en el punto **−1**, no en la demostración completa.

¿Cómo se convierte un clic en una raíz?

Las coordenadas del puntero pasan de píxeles a **(σ, ω)** con un encaje grueso a la malla, para que los pares conjugados queden simétricos. Un clic cerca del eje **jω = 0** (dentro de la tolerancia) añade **una** raíz real; un clic fuera del eje añade **dos** posiciones conjugadas. **Mayús+clic** borra del listado la raíz más cercana al punto (polo o cero), salvo la prohibición de borrar el último polo.

Bode y Nyquist desde polos y ceros

Clic en el plano s: polos (●) y ceros (×) reales o en pares conjugados; G(s)=K∏(s−z)/∏(s−p). Diagramas de Bode y hodógrafo con el punto −1; márgenes de fase y de ganancia.

Sobre el modelo

Los polos y ceros en el plano s fijan la respuesta en frecuencia de la transferencia de lazo abierto. Función de transferencia racional escalar G(s) = K ∏(s − z_i) / ∏(s − p_j) con coeficientes reales: cada polo o cero complejo se añade en par conjugado. Las raíces se colocan con un clic en un plano s compacto (σ frente a jω); el mismo modelo se ve de tres modos: diagrama de Bode (|G| y fase frente a ω en escala logarítmica), hodógrafo de Nyquist G(jω) con el punto de referencia −1 para el lazo de retroalimentación unitaria, y los márgenes de fase y de ganancia numéricos. Los márgenes se calculan en una malla logarítmica densa de ω con desenvolvimiento de la fase: se busca el primer cruce por 0 dB al crecer ω (margen de fase) y el primer cruce por −180° de la fase desenvolvida (margen de ganancia). Con varios cruces (estabilidad condicional, ceros de fase no mínima) la receta canónica es ambigua; aquí se declara una heurística de aula: entre los cruces hallados se toma el indicador peor, no un análisis de robustez completo. Complementa las páginas electricity/bode-diagram y electricity/nyquist-diagram.

Para quién: Teoría clásica de control: polos y ceros, diagramas de Bode y de Nyquist, márgenes de estabilidad.

Conceptos clave

función de transferencia
polo
cero
diagrama de Bode
hodógrafo de Nyquist
margen de fase
margen de ganancia
sistema de fase no mínima

Cómo funciona

El mapa de polos y ceros en el plano s fija G(s)=K∏(s−z)/∏(s−p); Bode y Nyquist se construyen a partir del mismo G(jω). Los márgenes salen de los primeros cruces por 0 dB y −180° de la fase desenvolvida; si hay varios cruces, es una heurística, no un análisis de robustez completo.

Fórmulas principales

G(jω) = K · ∏(jω − zᵢ) / ∏(jω − pⱼ)

PM = 180° + ∠G(jω_gc) at |G(jω_gc)| = 1

GM_dB = −20 log₁₀|G(jω_pc)| at ∠G(jω_pc) = −180° (first crossings, ω increasing)

Preguntas frecuentes

¿Por qué los márgenes pueden no coincidir con el ejemplo del libro?: En un L(jω) real puede haber varios cruces por 0 dB o por −180°. Distintas fuentes eligen cruces distintos. Aquí se fija la regla de los primeros cruces al crecer ω y se toma el margen de fase mínimo y el de ganancia mínimo entre los hallados: una heurística simple de «el peor entre los evidentes».
¿Qué aporta apilar varios polos en el origen?: Cada integrador sube la ganancia a baja frecuencia y añade −90° de fase. Cuando ω → 0 la gráfica puede «irse al infinito», y en el hodógrafo hacen falta hendiduras alrededor del origen que este esquema no dibuja: para lazos de tipo 2 o mayor el hodógrafo es cualitativo. Los márgenes pueden quedar indefinidos si en el rango elegido no hay los cruces necesarios.
¿Se puede poner un cero en el semiplano derecho?: Sí, G(jω) sigue definida, pero un cero de fase no mínima añade un atraso «de más» en frecuencias medias y a menudo se come el margen de fase. El criterio de Nyquist para la estabilidad del lazo cerrado pide entonces un conteo cuidadoso de rodeos; la página insiste en la forma de G(jω) y en el punto −1, no en la demostración completa.
¿Cómo se convierte un clic en una raíz?: Las coordenadas del puntero pasan de píxeles a (σ, ω) con un encaje grueso a la malla, para que los pares conjugados queden simétricos. Un clic cerca del eje jω = 0 (dentro de la tolerancia) añade una raíz real; un clic fuera del eje añade dos posiciones conjugadas. Mayús+clic borra del listado la raíz más cercana al punto (polo o cero), salvo la prohibición de borrar el último polo.

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