Почему на круге Мора точка движется на 2θ?

В формулах преобразования тензора стоят cos 2θ и sin 2θ. Поэтому физический поворот элемента на θ отображается как движение по окружности на удвоенный угол.

Предсказывает ли круг текучесть или разрушение?

Нет. Он только преобразует локальное плоское напряжённое состояние. Чтобы судить о прочности, σ1, σ2 и τmax нужно сопоставить с критерием: наибольшего главного напряжения, Треска или Мизеса.

Круг Мора и преобразование напряжений

Плоское напряжённое состояние σx, σy, τxy: круг Мора, напряжения на повёрнутом элементе, главные напряжения, τmax и угол θp.

Круг Мора — графическая форма тех же уравнений поворота тензора. Здесь рассматривается локальное plane-stress состояние; критерии разрушения, 3D напряжения, пластичность и концентрации напряжений не моделируются.

Исходное напряжённое состояние

Нормальное напряжение σx80 MPa

Нормальное напряжение σy-20 MPa

Касательное напряжение τxy35 MPa

Поворот элемента

Угол элемента θ24°

Положительный θ поворачивает физический элемент; на круге Мора соответствующая точка проходит угол 2θ. Знаки τ могут отличаться в разных учебниках.

Измеренные величины

Главное напряжение σ191.0MPa

Главное напряжение σ2-31.0MPa

Макс. касательное τmax61.0MPa

Главный угол θp17.5°

Преобразованное σx′89.5MPa

Преобразованное τx′y′-13.7MPa

Графики

О модели

Круг Мора — графическая запись преобразования тензора напряжений в плоском напряжённом состоянии. По нормальным напряжениям σx, σy и касательному τxy центр C = (σx + σy)/2 и радиус R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²) сразу дают главные напряжения σ1, σ2 = C ± R и наибольшее касательное в плоскости τmax = R. Поворот физического элемента на угол θ соответствует движению точки по окружности на 2θ: в формулах стоят cos 2θ и sin 2θ. На экране — повёрнутый элемент и точка на плоскости σ–τ; кнопки ставят главную площадку или площадку максимального сдвига. Это локальный упругий расчёт преобразования: критериев прочности, напряжений вне плоскости, концентраторов, пластичности и анизотропии нет.

Для кого: Сопротивление материалов и детали машин: плоское напряжённое состояние, главные площадки.

Ключевые понятия

круг Мора
преобразование напряжений
главные напряжения
максимальное касательное напряжение
плоское напряжённое состояние
главная площадка

Как это работает

Центр C = (σx + σy)/2, радиус R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Главные напряжения σ1,2 = C ± R, наибольшее касательное в плоскости τmax = R. Поворот элемента на θ соответствует движению точки по кругу Мора на 2θ; кнопки ставят главную площадку или площадку максимального сдвига.

Основные формулы

C = (σx + σy)/2, R = sqrt(((σx − σy)/2)^2 + τxy^2)

σ1,2 = C ± R; tan(2θp) = 2τxy/(σx − σy); τmax = R

Часто задаваемые вопросы

Почему на круге Мора точка движется на 2θ?: В формулах преобразования тензора стоят cos 2θ и sin 2θ. Поэтому физический поворот элемента на θ отображается как движение по окружности на удвоенный угол.
Предсказывает ли круг текучесть или разрушение?: Нет. Он только преобразует локальное плоское напряжённое состояние. Чтобы судить о прочности, σ1, σ2 и τmax нужно сопоставить с критерием: наибольшего главного напряжения, Треска или Мизеса.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 48 в «Инженерия».

Вся категория →

НовоеШкольные