Почему цветная линия иногда «прыгает» между шагами K?

Ветви годографа могут **пересекаться** или почти сливаться; жадное сопоставление корней между соседними **K** иногда перепутает пару на одном шаге. Увеличьте **максимум K** в разборе или мысленно «проследите» вдоль **σ**; для издательского качества нужно полноценное прослеживание ветвей, а не этот учебный эскиз.

Заменяют ли пунктирные асимптоты сам годограф?

Нет — это рецепт Эванса для **n − m** ветвей, уходящих в бесконечность при **K → ∞**. Ломаные по-прежнему строятся по корням многочлена; лучи — **опорная** геометрия при **n > m**.

Зачем запрещать нули, если получится deg N ≥ deg D?

Объект должен оставаться **строго правильным** для классической постановки с единичной обратной связью (ограниченное поведение на высоких частотах). Интерфейс не даст добавить нули, приводящие к **недопустимому G**.

Гарантирует ли Дюран–Кернер сходимость?

Нет — как и у многих одновременных итераций это **эвристика**, но с **прогревом** и умеренными степенями здесь работает устойчиво. При экзотическом расположении корней слегка сдвиньте полюс или **K**; заготовки рассчитаны на учебные многочлены.

Корневой годограф: 1 + K·G(s) = 0

Тот же редактор полюсов и нулей: траектории замкнутых полюсов при логарифмическом сканировании K, асимптоты и участок на вещественной оси; корни Дюрана–Кернера при текущем K.

Объект G(s) и усиление контура K

Усиление числителя объекта g₀1

Текущее K в 1 + K·G2.5

Максимум K (разбор трасс)40

Характеристическое: D(s) + K · g₀ · N₀(s) = 0, где D = ∏(s−p), N₀ = ∏(s−z).

Полюса

0.00

-2.00

Нули

-3.00

Горячие клавиши

Shift+клик удаляет ближайший полюс или нуль. Нули блокируются, если получится deg N ≥ deg D (недопустимое G).

Измеренные величины

deg D, deg N2, 1

Правильность?да

Полюса замкнутой в ПП1

О модели

Корневой годограф показывает, как движутся полюса замкнутой системы при изменении усиления контура. Единичная отрицательная обратная связь со скалярным объектом G(s) = g₀ ∏(s − z_i) / ∏(s − p_j) — тот же клик по s-плоскости, что и в лаборатории Боде/Найквиста. Характеристическое уравнение контура 1 + K G(s) = 0, в полиномиальной форме D(s) + K g₀ N₀(s) = 0, где D и N₀ — монические многочлены по списку полюсов и нулей. Логарифмический разбор K даёт цветные ломаные — дискретный эскиз корневого годографа. При deg D > deg N рисуются асимптоты (центроид и углы) и участок на вещественной оси по правилу «нечётное число вещественных полюсов и нулей справа». Корни на каждом шаге K ищутся итерацией Дюрана–Кернера для монического многочлена; между шагами используется вектор корней с предыдущего K и жадная перестановка для визуальной непрерывности ветвей (это оформление графика, не замена доказательства Эванса). Ползунок текущего K пересчитывает корни с прогревом от ближайшего шага разбора; золотые кольца отмечают эти корни, счётчик — полюса замкнутой системы в ПП для быстрой оценки неустойчивости.

Для кого: Классическая теория управления: корневой годограф Эванса, тот же редактор полюсов и нулей, что у Боде/Найквиста.

Ключевые понятия

корневой годограф
характеристическое уравнение
единичная обратная связь
полюса и нули разомкнутого контура
асимптоты
правило вещественной оси
Дюран–Кернер
устойчивость замкнутой системы

Как это работает

1 + K·G(s) = 0 при G = g₀∏(s−z)/∏(s−p) — это D + K g₀ N₀ = 0; трассировка по log K и Дюран–Кернер дают эскиз ветвей, асимптоты и вещественная ось — классические подсказки Эванса; сопоставление корней между шагами — для гладкости линий, не доказательство.

Основные формулы

1 + K G(s) = 0 ⟺ D(s) + K g₀ N₀(s) = 0

σ_a = (Σ p_i − Σ z_i) / (n − m), θ_k = (2k+1)π / (n − m)

Часто задаваемые вопросы

Почему цветная линия иногда «прыгает» между шагами K?: Ветви годографа могут пересекаться или почти сливаться; жадное сопоставление корней между соседними K иногда перепутает пару на одном шаге. Увеличьте максимум K в разборе или мысленно «проследите» вдоль σ; для издательского качества нужно полноценное прослеживание ветвей, а не этот учебный эскиз.
Заменяют ли пунктирные асимптоты сам годограф?: Нет — это рецепт Эванса для n − m ветвей, уходящих в бесконечность при K → ∞. Ломаные по-прежнему строятся по корням многочлена; лучи — опорная геометрия при n > m.
Зачем запрещать нули, если получится deg N ≥ deg D?: Объект должен оставаться строго правильным для классической постановки с единичной обратной связью (ограниченное поведение на высоких частотах). Интерфейс не даст добавить нули, приводящие к недопустимому G.
Гарантирует ли Дюран–Кернер сходимость?: Нет — как и у многих одновременных итераций это эвристика, но с прогревом и умеренными степенями здесь работает устойчиво. При экзотическом расположении корней слегка сдвиньте полюс или K; заготовки рассчитаны на учебные многочлены.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 48 в «Инженерия».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Боде и Найквист по карте полюсов и нулей

Запустить симулятор

Клик по s-плоскости: вещественные или сопряжённые пары полюсов (●) и нулей (×); G(s)=K∏(s−z)/∏(s−p). Диаграммы Боде и годограф с точкой −1; запасы по фазе и усилению.

НовоеУниверситет / научные

Тележка–маятник: LQR, MPC и PID

Запустить симулятор

Нелинейная тележка с перевёрнутым маятником: линеаризация у верха, дискретный LQR (Риккати), конечный горизонт LQ-MPC с терминальным P∞ и ручной ПИД — один предел силы.

НовоеУниверситет / научные

Модуляция AM / FM

Запустить симулятор

Несущая и сообщение: огибающая AM и фазовая FM; осциллограмма и снимок спектра ДПФ.

НовоеУниверситет / научные

ПИД-регулятор (1D)

Запустить симулятор

Тележка на рельсе: коэффициенты Kp, Ki, Kd и случайные импульсы скорости к уставке x = 0.

НовоеУниверситет / научные

Настройка ПИД-регулятора

Запустить симулятор

Переходная характеристика объекта 2-го порядка: перерегулирование, время нарастания и установления, правило Циглера–Никольса Ku/Pu, насыщение и подавление возмущения.

НовоеШкольные

Четырёхзвенник

Запустить симулятор

Кривошипно-коромысловая схема: длины звеньев, скорость кривошипа, кривая шатуна.

Корневой годограф: 1 + K·G(s) = 0

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Боде и Найквист по карте полюсов и нулей

Тележка–маятник: LQR, MPC и PID

Модуляция AM / FM

ПИД-регулятор (1D)

Настройка ПИД-регулятора

Четырёхзвенник

Корневой годограф: 1 + K·G(s) = 0

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы