Pourquoi les marges peuvent-elles ne pas coïncider avec l’exemple du cours ?

Chez un vrai **L(jω)**, il peut y avoir plusieurs croisements **0 dB** ou **−180°**. Les sources ne choisissent pas toutes le même. Ici la règle est fixée : **premiers croisements lorsque ω augmente**, et l’on retient la marge de phase **minimale** et la marge de gain **minimale** parmi celles trouvées — heuristique simple « la plus défavorable parmi les évidentes ».

Que donne plusieurs pôles à l’origine ?

Chaque intégrateur relève le gain aux basses fréquences et ajoute **−90°** de phase. Lorsque **ω → 0**, le graphe peut « partir à l’infini », et le lieu demanderait des **encoches** autour de l’origine que cette esquisse **ne** dessine **pas** — pour les boucles de **type 2 et plus**, le lieu est qualitatif. Les marges peuvent devenir **indéfinies** si, dans la bande choisie, les croisements attendus manquent.

Peut-on placer un zéro dans le demi-plan droit ?

Oui, **G(jω)** reste définie, mais un zéro **à non-minimum de phase** ajoute un retard de phase « en trop » aux fréquences intermédiaires et **mange** souvent la marge de phase. Le critère de Nyquist pour la stabilité en boucle fermée exige alors un décompte soigneux des tours ; la page insiste sur la **forme** de **G(jω)** et le point **−1**, non sur une preuve complète.

Comment un clic devient-il une racine ?

Les coordonnées du pointeur passent des pixels à **(σ, ω)** avec un calage grossier sur la grille, pour que les paires conjuguées restent symétriques. Un clic près de l’axe **jω = 0** (dans la tolérance) ajoute **une** racine réelle ; un clic hors de l’axe en ajoute **deux**, conjuguées. **Maj+clic** retire de la liste la racine la plus proche du point (pôle ou zéro), sauf interdiction d’effacer le dernier pôle.

Bode et Nyquist à partir du plan pôles-zéros

Clic dans le plan s : pôles (●) et zéros (×) réels ou par paires conjuguées ; G(s)=K∏(s−z)/∏(s−p). Diagrammes de Bode et lieu avec le point −1 ; marges de phase et de gain.

À propos du modèle

Les diagrammes de Bode et de Nyquist se lisent à partir des pôles et des zéros dans le plan s, qui fixent la réponse en fréquence de la fonction de transfert en boucle ouverte. On construit une fonction de transfert rationnelle scalaire G(s) = K ∏(s − z_i) / ∏(s − p_j) à coefficients réels : chaque pôle ou zéro complexe est complété par sa paire conjuguée. Les racines se placent au clic sur un plan s compact (σ contre jω), puis le même modèle se lit de trois façons : diagramme de Bode (|G| et phase selon ω en échelle logarithmique), lieu de Nyquist G(jω) avec le point de référence −1 pour une boucle à retour unitaire, et les marge de phase et marge de gain numériques. Les marges se calculent sur une grille logarithmique dense en ω, avec déroulement de la phase : on cherche le premier croisement 0 dB lorsque ω croît (pour la marge de phase) et le premier croisement −180° de la phase déroulée (pour la marge de gain). S’il y a plusieurs croisements (stabilité conditionnelle, zéros à non-minimum de phase), la recette canonique est ambiguë ; ici l’heuristique pédagogique est explicite — parmi les croisements trouvés, on retient l’indicateur le plus défavorable, et non une analyse robuste complète. Elle complète les pages electricity/bode-diagram et electricity/nyquist-diagram.

Public : Automatique classique : pôles et zéros, diagrammes de Bode et de Nyquist, marges de stabilité.

Notions clés

fonction de transfert
pôle
zéro
diagramme de Bode
lieu de Nyquist
marge de phase
marge de gain
système à non-minimum de phase

Comment ça marche

La carte pôles-zéros dans le plan s fixe G(s)=K∏(s−z)/∏(s−p) ; Bode et Nyquist se construisent à partir du même G(jω). Les marges — aux premiers croisements 0 dB et −180° sur la phase déroulée ; s’il y a plusieurs croisements, c’est une heuristique, non une analyse robuste complète.

Formules

G(jω) = K · ∏(jω − zᵢ) / ∏(jω − pⱼ)

PM = 180° + ∠G(jω_gc) at |G(jω_gc)| = 1

GM_dB = −20 log₁₀|G(jω_pc)| at ∠G(jω_pc) = −180° (first crossings, ω increasing)

Questions fréquentes

Pourquoi les marges peuvent-elles ne pas coïncider avec l’exemple du cours ?: Chez un vrai L(jω), il peut y avoir plusieurs croisements 0 dB ou −180°. Les sources ne choisissent pas toutes le même. Ici la règle est fixée : premiers croisements lorsque ω augmente, et l’on retient la marge de phase minimale et la marge de gain minimale parmi celles trouvées — heuristique simple « la plus défavorable parmi les évidentes ».
Que donne plusieurs pôles à l’origine ?: Chaque intégrateur relève le gain aux basses fréquences et ajoute −90° de phase. Lorsque ω → 0, le graphe peut « partir à l’infini », et le lieu demanderait des encoches autour de l’origine que cette esquisse ne dessine pas — pour les boucles de type 2 et plus, le lieu est qualitatif. Les marges peuvent devenir indéfinies si, dans la bande choisie, les croisements attendus manquent.
Peut-on placer un zéro dans le demi-plan droit ?: Oui, G(jω) reste définie, mais un zéro à non-minimum de phase ajoute un retard de phase « en trop » aux fréquences intermédiaires et mange souvent la marge de phase. Le critère de Nyquist pour la stabilité en boucle fermée exige alors un décompte soigneux des tours ; la page insiste sur la forme de G(jω) et le point −1, non sur une preuve complète.
Comment un clic devient-il une racine ?: Les coordonnées du pointeur passent des pixels à (σ, ω) avec un calage grossier sur la grille, pour que les paires conjuguées restent symétriques. Un clic près de l’axe jω = 0 (dans la tolérance) ajoute une racine réelle ; un clic hors de l’axe en ajoute deux, conjuguées. Maj+clic retire de la liste la racine la plus proche du point (pôle ou zéro), sauf interdiction d’effacer le dernier pôle.

Thèmes proches (y compris d’autres rubriques) — ou les 48 de «Ingénierie».

Toute la catégorie →

NouveauUniversité

Lieu des racines : 1 + K·G(s) = 0

Lancer la simulation

Le même éditeur de pôles et de zéros : trajectoires des pôles en boucle fermée lors d’un balayage logarithmique de K, asymptotes et segment sur l’axe réel ; racines de Durand–Kerner au K courant.

NouveauUniversité

Diagramme de Nyquist

Lancer la simulation

Fonction de transfert en boucle ouverte L(jω) dans le plan complexe ; point critique −1 et distance à ce point.

NouveauUniversité

Vitesse critique d’un rotor de Jeffcott

Lancer la simulation

Un disque sur un arbre flexible : ω_n = √(k/m), réponse au balourd, orbite de précession, déphasage et passage de la vitesse critique.

NouveauUniversité

Modulation AM / FM

Lancer la simulation

Porteuse et message : enveloppe AM et phase FM ; oscillogramme et instantané du spectre par TFD.

NouveauUniversité

Régulateur PID (1D)

Lancer la simulation

Chariot sur un rail : coefficients Kp, Ki, Kd et impulsions aléatoires de vitesse vers la consigne x = 0.

NouveauCollège–lycée

Cercle de Mohr et transformation des contraintes

Lancer la simulation

État de contraintes planes σx, σy, τxy : cercle de Mohr, contraintes sur l’élément tourné, contraintes principales, τmax et angle θp.

Bode et Nyquist à partir du plan pôles-zéros

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes

Simulations voisines

Lieu des racines : 1 + K·G(s) = 0

Diagramme de Nyquist

Vitesse critique d’un rotor de Jeffcott

Modulation AM / FM

Régulateur PID (1D)

Cercle de Mohr et transformation des contraintes

Bode et Nyquist à partir du plan pôles-zéros

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes