Почему (2,1) и (1,2) вырождены только в квадрате?

E ∝ n_x²/L_x² + n_y²/L_y². При L_x = L_y перестановка n_x ↔ n_y не меняет E. При L_x ≠ L_y веса разные, и уровни расщепляются. Вырождение «случайно» относительно общего прямоугольника; оно отражает более высокую симметрию квадрата.

Бывает ли здесь вырожденным основное состояние?

Нет. Основное состояние однозначно (n_x, n_y) = (1,1). Вырождение в этой модели появляется только среди возбуждённых пар, которые можно переставить при L_x = L_y. Путать уникальность основного состояния с дублетами возбуждённых уровней — частая ошибка.

Смешиваются ли волновые функции при расщеплении уровней?

Для чистой прямоугольной бесконечной ямы гамильтониан по-прежнему разделяется по x и y, поэтому собственные состояния остаются произведениями синусов даже после смены соотношения сторон; меняются только энергии. Смешивание потребовало бы возмущения, связывающего разные метки (n_x, n_y).

2D Box: Eigenstates & Degeneracy

Particle in a 2-D rectangular infinite well: ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_xπx/L_x)sin(n_yπy/L_y), E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². Toggle a square box (L_x = L_y) to expose the (n_x, n_y) ↔ (n_y, n_x) accidental degeneracy and watch the doublets split as the box deforms.

О модели

Частица в двумерной прямоугольной бесконечной яме имеет собственные состояния-произведения ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x π x / L_x) sin(n_y π y / L_y) с энергиями E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². Когда ящик квадратный (L_x = L_y), состояния (n_x, n_y) и (n_y, n_x) при n_x ≠ n_y имеют одну и ту же энергию — так называемое случайное вырождение из-за дополнительной симметрии квадрата. Деформация прямоугольника расщепляет эти дублеты. Модель — идеальный гамильтониан с бесконечными стенками: без конечных барьеров, межчастичных взаимодействий и спина. Вы переключаете квадратную и прямоугольную геометрию и выбираете квантовые числа, наблюдая узловые картины волновых функций и снятие вырождения при растяжении ящика.

Для кого: Вводный курс квантовой механики: многомерные ямы, разделение переменных и вырождение.

Ключевые понятия

Частица в 2D-ящике
Вырождение уровней
Разделение переменных
Квантовые числа
Бесконечная яма
Узловая картина

Как это работает

2-D infinite square well: explore the eigenstates ψ_{n_x,n_y} with the energy ladder E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². Toggle a square box (L_x = L_y) to see the (n_x, n_y) ↔ (n_y, n_x) accidental degeneracy and the colormap of |ψ|² for each level.

Часто задаваемые вопросы

Почему (2,1) и (1,2) вырождены только в квадрате?: E ∝ n_x²/L_x² + n_y²/L_y². При L_x = L_y перестановка n_x ↔ n_y не меняет E. При L_x ≠ L_y веса разные, и уровни расщепляются. Вырождение «случайно» относительно общего прямоугольника; оно отражает более высокую симметрию квадрата.
Бывает ли здесь вырожденным основное состояние?: Нет. Основное состояние однозначно (n_x, n_y) = (1,1). Вырождение в этой модели появляется только среди возбуждённых пар, которые можно переставить при L_x = L_y. Путать уникальность основного состояния с дублетами возбуждённых уровней — частая ошибка.
Смешиваются ли волновые функции при расщеплении уровней?: Для чистой прямоугольной бесконечной ямы гамильтониан по-прежнему разделяется по x и y, поэтому собственные состояния остаются произведениями синусов даже после смены соотношения сторон; меняются только энергии. Смешивание потребовало бы возмущения, связывающего разные метки (n_x, n_y).

Другие симуляторы в этой категории — или все 65.

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Landau Levels in a Magnetic Field

Запустить симулятор

Charged particle in a uniform B-field: equally-spaced Landau ladder E_n = ℏω_c(n+½) with cyclotron frequency ω_c = qB/m, magnetic length ℓ_B = √(ℏ/qB) and orbit radius r_n = ℓ_B√(2n+1). Animated cyclotron orbit + linear-in-B fan diagram; the n_B = qB/h degeneracy underlies the quantum Hall effect.

НовоеШкольные