Degenerescência em um poço de potencial bidimensional
Partícula num poço retangular infinito: ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x πx/L_x) sin(n_y πy/L_y), E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². No quadrado (n_x, n_y) ↔ (n_y, n_x) — degenerescência acidental; na deformação os dupletos se desdobram.
Sobre o modelo
A degenerescência em um poço de potencial bidimensional: uma partícula num poço retangular infinito tem estados próprios produto ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x π x / L_x) sin(n_y π y / L_y), com energias E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². Quando o poço é quadrado (L_x = L_y), os estados (n_x, n_y) e (n_y, n_x) com n_x ≠ n_y têm a mesma energia — degenerescência acidental, fruto da simetria extra do quadrado. A deformação em retângulo desdobra esses dupletos. O modelo é o hamiltoniano ideal de paredes infinitas: sem barreiras finitas, interações entre partículas nem spin. Mudam-se a razão dos lados e os números quânticos: na tela, as figuras nodais das funções de onda e o levantamento da degenerescência ao esticar o poço.
Para quem: Curso introdutório de mecânica quântica: poços multidimensionais, separação de variáveis e degenerescência.
Conceitos-chave
degenerescência em um poço de potencial bidimensional
degenerescência acidental
separação de variáveis
números quânticos
poço de potencial infinito
figura nodal
Como funciona
Partícula num poço retangular infinito: ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x πx/L_x) sin(n_y πy/L_y), E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². No quadrado (L_x = L_y) os níveis (n_x, n_y) e (n_y, n_x) com n_x ≠ n_y coincidem — degenerescência acidental. Esticar o poço levanta a degenerescência: o dupleto se desdobra, e as funções de onda continuam produtos de senos. Na tela — densidades |ψ|² e a escada de níveis.
Perguntas frequentes
Por que (2,1) e (1,2) só são degenerados no quadrado?
E ∝ n_x²/L_x² + n_y²/L_y². Com L_x = L_y a troca n_x ↔ n_y não muda E. Com L_x ≠ L_y os pesos diferem e os níveis se desdobram. A degenerescência é «acidental» em relação ao retângulo genérico; ela reflete a simetria mais alta do quadrado.
O estado fundamental chega a ser degenerado aqui?
Não. O fundamental é único: (n_x, n_y) = (1,1). Neste modelo a degenerescência só aparece entre pares excitados que se podem permutar quando L_x = L_y. Confundir a unicidade do fundamental com os dupletos dos níveis excitados é um erro frequente.
As funções de onda se misturam quando os níveis se desdobram?
No poço retangular infinito puro o hamiltoniano continua a separar-se em x e y, por isso os estados próprios seguem produtos de senos mesmo depois de mudar a razão dos lados; só as energias mudam. A mistura exigiria uma perturbação que ligasse rótulos (n_x, n_y) diferentes.