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Inicio/Química/Degeneración en un pozo de potencial 2D

Degeneración en un pozo de potencial 2D

Partícula en un pozo rectangular infinito: ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x πx/L_x) sin(n_y πy/L_y), E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². En el cuadrado, (n_x, n_y) ↔ (n_y, n_x) da degeneración accidental; al deformar el pozo se desdoblan los dobletes.

Pozo rectangular 2D

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Partícula en un pozo rectangular infinito 2D: |ψ_{n_x,n_y}|² = (4/L_xL_y) sin²(n_xπx/L_x) sin²(n_yπy/L_y), E = (π²/2)((n_x/L_x)² + (n_y/L_y)²) (ℏ = m = 1). En el pozo cuadrado (L_x = L_y) el intercambio (n_x, n_y) ↔ (n_y, n_x) da degeneración accidental doble siempre que n_x ≠ n_y; al deformar el rectángulo se desdoblan los dobletes — introducción clara a la degeneración por simetría.

Magnitudes medidas

E_{2,1}24.6740
Degeneración a esta E2×
Relación L_x/L_y1.000
E_{1,1} del fundamental9.8696

Sobre el modelo

Degeneración en un pozo de potencial 2D: una partícula en un pozo rectangular infinito tiene estados propios producto ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x π x / L_x) sin(n_y π y / L_y) con energías E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². Cuando el pozo es cuadrado (L_x = L_y), los estados (n_x, n_y) y (n_y, n_x) con n_x ≠ n_y tienen la misma energía: degeneración accidental por la simetría extra del cuadrado. Al deformar el rectángulo se desdoblan esos dobletes. El modelo es el hamiltoniano ideal de paredes infinitas: sin barreras finitas, sin interacción entre partículas y sin espín. Se cambian la relación de lados y los números cuánticos: en pantalla, las figuras nodales de las funciones de onda y el levantamiento de la degeneración al estirar el pozo.

Para quién: Curso introductorio de mecánica cuántica: pozos multidimensionales, separación de variables y degeneración.

Conceptos clave

  • degeneración en un pozo de potencial 2D
  • degeneración accidental
  • separación de variables
  • números cuánticos
  • pozo de potencial infinito
  • figura nodal

Cómo funciona

Partícula en un pozo rectangular infinito: ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x πx/L_x) sin(n_y πy/L_y), E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². En el cuadrado (L_x = L_y) los niveles (n_x, n_y) y (n_y, n_x) con n_x ≠ n_y coinciden: degeneración accidental. Al estirar el pozo se levanta la degeneración: el doblete se desdobla y las funciones de onda siguen siendo productos de senos. En pantalla: densidades |ψ|² y la escalera de niveles.

Preguntas frecuentes

¿Por qué (2,1) y (1,2) están degenerados solo en el cuadrado?
E ∝ n_x²/L_x² + n_y²/L_y². Si L_x = L_y, intercambiar n_x ↔ n_y no cambia E. Si L_x ≠ L_y, los pesos son distintos y los niveles se desdoblan. La degeneración es «accidental» respecto al rectángulo genérico; refleja la simetría más alta del cuadrado.
¿Puede estar degenerado el estado fundamental?
No. El fundamental es único: (n_x, n_y) = (1,1). En este modelo la degeneración aparece solo entre pares excitados que se pueden intercambiar cuando L_x = L_y. Confundir la unicidad del fundamental con los dobletes de niveles excitados es un error frecuente.
¿Se mezclan las funciones de onda al desdoblarse los niveles?
En un pozo rectangular infinito puro el hamiltoniano sigue separándose en x e y, así que los estados propios siguen siendo productos de senos aunque cambie la relación de lados; solo se mueven las energías. Para mezclar haría falta una perturbación que acoplara etiquetas (n_x, n_y) distintas.