Цепочка сильной связи с беспорядком W: собственные функции ψ, плотность |ψ|², обратное участие IPR(E) и оценка длины локализации.
О модели
Локализация Андерсона: в беспорядочном кристалле собственные состояния могут оставаться пространственно ограниченными, хотя на идеальной решётке волна распространяется. Одномерный гамильтониан сильной связи на открытой цепочке: H = −t Σ_i (|i⟩⟨i+1| + h.c.) + Σ_i ε_i |i⟩⟨i|, где ε_i равномерны на [−W/2, W/2]. Полная матрица N×N диагонализуется; на экране |ψ_i|², профиль ε_i, IPR = Σ|ψ_i|⁴ (мало ~1/N у делокализованных, велико у локализованных) и диаграмма IPR(E). Длина локализации оценивается по среднеквадратичному размаху |ψ|² и экспоненциальной подгонке ln|ψ|. Конечная длина и открытые границы — учебные оговорки; в одномерии при W > 0 в бесконечном пределе локализованы все состояния.
Для кого: Старшие курсы физики твёрдого тела после зонной теории.
Ключевые понятия
локализация Андерсона
приближение сильной связи
беспорядок
обратное участие (IPR)
длина локализации
собственное состояние
плотность состояний
Как это работает
Одномерная модель Андерсона: H = −t Σ(|i⟩⟨i+1| + h.c.) + Σ ε_i |i⟩⟨i|, ε_i равномерны на [−W/2, W/2]. Диагонализация даёт E_n и ψ_n; IPR = Σ|ψ_i|⁴ (~1/N делокализовано, порядка 1 — локализовано). Сверху случайный потенциал ε_i, в середине |ψ|², снизу IPR(E). Длина ξ — по размаху и по наклону ln|ψ|.
Часто задаваемые вопросы
Что означает параметр W?
Случайные ε_i на отрезке [−W/2, W/2]. При W = 0 — идеальная цепочка с шириной зоны 4t. Рост W расширяет спектр и в одномерии усиливает локализацию состояний в центре зоны.
Как читать IPR?
IPR = Σ|ψ_i|⁴ при нормировке ψ. Делокализованное состояние: IPR ~ 1/N. Локализованное на нескольких узлах: IPR порядка единицы. Пунктир на графике — уровень 1/N.
Зачем розовые столбики на |ψ|²?
Эвристика IPR > 5/N помечает состояния, локализованные сильнее, чем равномерно протянутое состояние на этой конечной цепочке.
Есть ли край подвижности в одномерии?
В одномерной цепочке с беспорядком на узлах в бесконечном пределе локализованы все состояния при любом W > 0. Края подвижности — явление более высоких размерностей.