Warum sind (2,1) und (1,2) nur im Quadrat entartet?

E ∝ n_x²/L_x² + n_y²/L_y². Bei L_x = L_y ändert die Vertauschung n_x ↔ n_y den Wert von E nicht. Bei L_x ≠ L_y sind die Gewichte verschieden, und die Niveaus spalten auf. Die Entartung ist „zufällig“ gegenüber dem allgemeinen Rechteck; sie spiegelt die höhere Symmetrie des Quadrats.

Ist der Grundzustand hier jemals entartet?

Nein. Der Grundzustand ist eindeutig (n_x, n_y) = (1,1). Entartung tritt in diesem Modell nur bei angeregten Paaren auf, die man bei L_x = L_y vertauschen kann. Die Einzigartigkeit des Grundzustands mit den Dubletts der angeregten Niveaus zu verwechseln, ist ein häufiger Fehler.

Mischen sich die Wellenfunktionen, wenn die Niveaus aufspalten?

Beim reinen rechteckigen unendlich hohen Kasten bleibt der Hamilton-Operator in x und y separierbar, daher bleiben die Eigenzustände Produkte von Sinusfunktionen auch nach der Änderung des Seitenverhältnisses; es ändern sich nur die Energien. Mischung würde eine Störung verlangen, die verschiedene Marken (n_x, n_y) koppelt.

Entartung im 2D-Kastenpotenzial

Teilchen im rechteckigen unendlich hohen Kasten: ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x πx/L_x) sin(n_y πy/L_y), E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². Im Quadrat (n_x, n_y) ↔ (n_y, n_x) — zufällige Entartung; beim Verformen spalten die Dubletts auf.

Zum Modell

Entartung im 2D-Kastenpotenzial: ein Teilchen im rechteckigen unendlich hohen Kasten hat Produkt-Eigenzustände ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x π x / L_x) sin(n_y π y / L_y) mit den Energien E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². Ist der Kasten quadratisch (L_x = L_y), haben (n_x, n_y) und (n_y, n_x) bei n_x ≠ n_y dieselbe Energie — zufällige Entartung durch die höhere Symmetrie des Quadrats. Eine Dehnung zum Rechteck spaltet diese Dubletts. Das Modell ist der ideale Hamilton-Operator mit unendlich hohen Wänden: ohne endliche Barrieren, ohne Wechselwirkung zwischen den Teilchen und ohne Spin. Man ändert das Seitenverhältnis und die Quantenzahlen: auf dem Bildschirm die Knotenbilder der Wellenfunktionen und das Aufheben der Entartung beim Strecken des Kastens.

Für wen: Einführung in die Quantenmechanik: mehrdimensionale Kästen, Separation der Variablen und Entartung.

Wichtige Begriffe

entartung im 2d-kastenpotenzial
zufällige entartung
separation der variablen
quantenzahlen
unendlich hoher potenzialkasten
knotenbild

So funktioniert es

Teilchen im rechteckigen unendlich hohen Kasten: ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x πx/L_x) sin(n_y πy/L_y), E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². Im Quadrat (L_x = L_y) fallen die Niveaus (n_x, n_y) und (n_y, n_x) bei n_x ≠ n_y zusammen — zufällige Entartung. Das Strecken des Kastens hebt die Entartung auf: das Dublett spaltet, die Wellenfunktionen bleiben Produkte von Sinusfunktionen. Auf dem Bildschirm die Dichten |ψ|² und die Niveauleiter.

Häufige Fragen

Warum sind (2,1) und (1,2) nur im Quadrat entartet?: E ∝ n_x²/L_x² + n_y²/L_y². Bei L_x = L_y ändert die Vertauschung n_x ↔ n_y den Wert von E nicht. Bei L_x ≠ L_y sind die Gewichte verschieden, und die Niveaus spalten auf. Die Entartung ist „zufällig“ gegenüber dem allgemeinen Rechteck; sie spiegelt die höhere Symmetrie des Quadrats.
Ist der Grundzustand hier jemals entartet?: Nein. Der Grundzustand ist eindeutig (n_x, n_y) = (1,1). Entartung tritt in diesem Modell nur bei angeregten Paaren auf, die man bei L_x = L_y vertauschen kann. Die Einzigartigkeit des Grundzustands mit den Dubletts der angeregten Niveaus zu verwechseln, ist ein häufiger Fehler.
Mischen sich die Wellenfunktionen, wenn die Niveaus aufspalten?: Beim reinen rechteckigen unendlich hohen Kasten bleibt der Hamilton-Operator in x und y separierbar, daher bleiben die Eigenzustände Produkte von Sinusfunktionen auch nach der Änderung des Seitenverhältnisses; es ändern sich nur die Energien. Mischung würde eine Störung verlangen, die verschiedene Marken (n_x, n_y) koppelt.

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