Почему столбец k = 5 самый высокий для 10 бросков монеты, но всё равно лишь около 25 %?

При n = 10 и p = 0,5 среднее np = 5, поэтому 5 орлов — единственный самый вероятный счёт. Последовательностей ровно с пятью орлами C(10, 5) = 252 из 2¹⁰ = 1024 равновероятных последовательностей, то есть P(K = 5) = 252/1024 ≈ 0,246. Остальные три четверти вероятности размазаны по другим значениям: у 4 и у 6 орлов примерно по 0,205, у 3 и у 7 примерно по 0,117, и так далее. «Самое вероятное» ещё не значит «вероятное»; вероятность попасть в пределы одного стандартного отклонения (√2,5 ≈ 1,58) от среднего, то есть 4 ≤ K ≤ 6, около 0,66.

Что делает поправка на непрерывность и зачем она нужна?

Биномиальная величина принимает только целые значения, а нормальная — любое вещественное. Чтобы приблизить P(K ≤ k) нормальной кривой, каждое целое k представляют промежутком от k − ½ до k + ½, поэтому всё событие K ≤ k отвечает площади под кривой до k + ½, а не до k. Без половины приближение систематически промахивается на полстолбца. Для P(K = k) исправленное значение — площадь между k − ½ и k + ½, близкая к высоте столбца; с поправкой ошибка при n = 20, p = 0,5 ниже 0,001 при k = 10, а без неё нормальное даёт P(K ≤ 10) ≈ 0,500 вместо точного 0,588 — ошибка почти в полстолбца.

Когда приближение Пуассона хорошо и когда его не стоит брать?

Распределение Пуассона со средним λ = np — предел биномиального, когда n растёт, p убывает, а np остаётся постоянным. Оно достаточно точно, когда p мало, примерно при p ≤ 0,05, и n достаточно велико, чтобы np было умеренным; при n = 100, p = 0,03 два распределения совпадают с точностью около 0,004 при каждом k. Около p = 0,5 это плохое приближение: у Пуассона дисперсия λ = np, а у биномиального дисперсия np(1 − p), при p = 0,5 вдвое меньше, поэтому стержни Пуассона заметно слишком широки. Там уместно нормальное приближение.

После 1000 опытов розовые контуры всё ещё не совпадают с бирюзовыми столбцами точно. Что-то не так?

Нет. Каждый розовый столбец — относительная частота, выборочная оценка соответствующей точной вероятности, и она колеблется от прогона к прогону. У столбца с истинной вероятностью q стандартная ошибка √(q(1 − q)/N) за N опытов; при q = 0,25 и N = 1000 это около 0,014, поэтому отклонения в одну-две сотых ожидаемы. С ростом N стандартная ошибка убывает как 1/√N: десять тысяч опытов уменьшают её примерно втрое, а не вдесятеро. То же видно у эмпирического среднего: оно подходит к np, но не равно np в точности.

Биномиальное распределение

Столбцы P(K = k) для n испытаний с успехом p; среднее np, дисперсия np(1−p); заготовки «монета» и «редкое событие»; нормальная кривая при большом n.

Биномиальное распределение

Число испытаний n10

Вероятность успеха p0.5

Подсветка

Выбранное k5

Нормальное приближение N(np, np(1−p))Приближение Пуассона Pois(np)

Каждый опыт — n независимых испытаний с одной и той же вероятностью успеха p; число успехов K биномиально. Бирюзовые столбцы — точная функция вероятности через логарифм гаммы; розовые контуры — относительные частоты ваших опытов. Смена n или p очищает эмпирическую гистограмму. Нормальные показания используют поправку на непрерывность (k ± ½); Пуассон(np) — хорошее приближение лишь когда p мало, а n велико.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — провести 1 опыт
R — сброс эмпирической гистограммы
Потяните маркер на графике, чтобы сдвинуть k

Измеренные величины

Испытания n10

Вероятность успеха p0.50

Среднее np5.00

Дисперсия np(1−p)2.500

Стандартное отклонение1.581

P(K = 5) (точно)0.24609

Норм. прибл. (попр. непрер.)0.24817

|точно − норм.|0.00208

Проведено опытов0

Эмпирическое среднее K—

Последний опыт: успехи—

О модели

Симулятор задаёт фиксированное число n независимых испытаний, каждое с одной и той же вероятностью успеха p, и считает число успехов K. При этих двух допущениях (независимость и постоянное p) у K биномиальное распределение: P(K = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^(n − k) для k = 0, 1, …, n, где C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) — число порядков, в которых успех ровно в k из n испытаний. Среднее E[K] = np, дисперсия Var K = np(1 − p); стандартное отклонение — корень из дисперсии. Бирюзовые столбцы — эта точная функция вероятности. Она считается через логарифм гамма-функции (приближение Ланцоша для ln Γ), поэтому столбцы верны даже при n = 200, где сам n! уже переполняется; накопленные вероятности P(K ≤ k) и P(K ≥ k) — суммы этих слагаемых в двойной точности, верхний хвост суммируется с дальнего конца, чтобы не терялись знаки. Жёлтая кривая — плотность нормального с теми же средним и дисперсией, N(np, np(1 − p)). Поскольку биномиальное дискретно, а нормальное непрерывно, нормальное приближение вероятности читают с поправкой на непрерывность: P(K ≤ k) ≈ Φ((k + ½ − np)/σ), P(K = k) ≈ Φ((k + ½ − np)/σ) − Φ((k − ½ − np)/σ), где Φ — функция распределения стандартного нормального, по приближению erfc с точностью около 1e-16. Показания дают точное значение, нормальное и их абсолютную разность; она мала, когда np(1 − p) велико (обычный ориентир: np ≥ 10 и n(1 − p) ≥ 10). Зелёные стержни — распределение Пуассона с тем же средним, Pois(np); оно хорошо приближает биномиальное, когда n велико, а p мало, как в заготовке «редкое событие» (n = 100, p = 0,03), и плохо в остальных случаях. Эмпирический слой рисует n монет, которые бросает псевдослучайный генератор с зерном; число орлов — одна выборка K, она добавляется к гистограмме относительных частот с розовым контуром, и та сходится к бирюзовым столбцам с ростом числа опытов. Упрощения: испытания строго независимы с постоянным p; выборка без возвращения (гипергеометрический случай) не моделируется, а монеты лишь показывают общее испытание Бернулли. Рядом на сайте: statistics/galton-board, где то же распределение собирается механически из отскоков влево/вправо; statistics/normal-distribution — предельная кривая; statistics/law-of-large-numbers — почему эмпирическое среднее сходится к np; statistics/p-value, где вероятности биномиальных хвостов выступают точными p-значениями критерия.

Для кого: Старшая школа (10–12 класс), разделы теории вероятностей, и вводный курс статистики в вузе; математический анализ не требуется.

Ключевые понятия

испытание Бернулли
биномиальный коэффициент C(n, k)
функция вероятности
накопленная вероятность
математическое ожидание np
дисперсия np(1 − p)
поправка на непрерывность
приближение Пуассона

Как это работает

Повторите одно и то же испытание Бернулли n раз, независимо и с одной и той же вероятностью успеха p; число успехов K следует биномиальному распределению с P(K = k) = C(n, k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Среднее равно np, дисперсия np(1−p), поэтому столбцы выше всего около np, а относительный разброс убывает как 1/√n. При большом n столбцы идут по нормальной кривой N(np, np(1−p)); поправка на непрерывность заменяет дискретное k промежутком [k−½, k+½], когда читают нормальное приближение. Когда p мало, а n велико, K близко к Пуассон(np). Брошенные монеты показывают один опыт; розовые контуры копят много опытов и подходят к точным столбцам.

Основные формулы

P(K = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0 … n

E[K] = np, Var K = np(1 − p), СКО = √(np(1 − p))

P(K ≤ k) ≈ Φ((k + ½ − np) / √(np(1 − p))) (поправка на непрерывность)

p мало, n велико: P(K = k) ≈ e^(−np) (np)ᵏ / k!

Часто задаваемые вопросы

Почему столбец k = 5 самый высокий для 10 бросков монеты, но всё равно лишь около 25 %?: При n = 10 и p = 0,5 среднее np = 5, поэтому 5 орлов — единственный самый вероятный счёт. Последовательностей ровно с пятью орлами C(10, 5) = 252 из 2¹⁰ = 1024 равновероятных последовательностей, то есть P(K = 5) = 252/1024 ≈ 0,246. Остальные три четверти вероятности размазаны по другим значениям: у 4 и у 6 орлов примерно по 0,205, у 3 и у 7 примерно по 0,117, и так далее. «Самое вероятное» ещё не значит «вероятное»; вероятность попасть в пределы одного стандартного отклонения (√2,5 ≈ 1,58) от среднего, то есть 4 ≤ K ≤ 6, около 0,66.
Что делает поправка на непрерывность и зачем она нужна?: Биномиальная величина принимает только целые значения, а нормальная — любое вещественное. Чтобы приблизить P(K ≤ k) нормальной кривой, каждое целое k представляют промежутком от k − ½ до k + ½, поэтому всё событие K ≤ k отвечает площади под кривой до k + ½, а не до k. Без половины приближение систематически промахивается на полстолбца. Для P(K = k) исправленное значение — площадь между k − ½ и k + ½, близкая к высоте столбца; с поправкой ошибка при n = 20, p = 0,5 ниже 0,001 при k = 10, а без неё нормальное даёт P(K ≤ 10) ≈ 0,500 вместо точного 0,588 — ошибка почти в полстолбца.
Когда приближение Пуассона хорошо и когда его не стоит брать?: Распределение Пуассона со средним λ = np — предел биномиального, когда n растёт, p убывает, а np остаётся постоянным. Оно достаточно точно, когда p мало, примерно при p ≤ 0,05, и n достаточно велико, чтобы np было умеренным; при n = 100, p = 0,03 два распределения совпадают с точностью около 0,004 при каждом k. Около p = 0,5 это плохое приближение: у Пуассона дисперсия λ = np, а у биномиального дисперсия np(1 − p), при p = 0,5 вдвое меньше, поэтому стержни Пуассона заметно слишком широки. Там уместно нормальное приближение.
После 1000 опытов розовые контуры всё ещё не совпадают с бирюзовыми столбцами точно. Что-то не так?: Нет. Каждый розовый столбец — относительная частота, выборочная оценка соответствующей точной вероятности, и она колеблется от прогона к прогону. У столбца с истинной вероятностью q стандартная ошибка √(q(1 − q)/N) за N опытов; при q = 0,25 и N = 1000 это около 0,014, поэтому отклонения в одну-две сотых ожидаемы. С ростом N стандартная ошибка убывает как 1/√N: десять тысяч опытов уменьшают её примерно втрое, а не вдесятеро. То же видно у эмпирического среднего: оно подходит к np, но не равно np в точности.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 10 в «Статистика и вероятность».

Вся категория →

НовоеДети

Закон больших чисел

Запустить симулятор

Монета или кость: текущее среднее x̄ₙ нескольких прогонов сходится к μ; полоса ±σ/√n показывает, как медленно.

НовоеПопулярноеДети

Доска Гальтона (ящик с шариками)

Запустить симулятор

Шарики отскакивают влево/вправо сквозь ряды штырьков; ячейки заполняют биномиальное, которое переходит в колокол. Мало рядов и много рядов.

НовоеПопулярноеДети

Центральная предельная теорема

Запустить симулятор

Выберите исходное распределение (равномерное, экспоненциальное, биномиальное, кость), берите выборки объёма n = 1, 5, 30; гистограмма средних становится нормальной, а разброс убывает как σ/√n.

НовоеДети