Почему у параболы r почти равен нулю, хотя y полностью определяется x?

r Пирсона измеряет только линейную связь: насколько хорошо прямая описывает облако. Для y = x² на симметричном промежутке точки с отрицательным x сидят в квадранте −+, а точки с положительным x — в квадранте ++, поэтому положительные и отрицательные произведения (x − x̄)(y − ȳ) взаимно гасятся, и ковариация близка к нулю. Связь идеальная, но не линейная, и r её не видит. Смотреть на диаграмму рассеяния, прежде чем доверять r, необходимо; корреляционное отношение или ранговая мера эту зависимость заметили бы, r Пирсона — нет.

Как одна точка может сдвинуть r с 0 до 0,6?

Каждое слагаемое ковариации — произведение двух отклонений от средних, поэтому точка далеко от обоих средних даёт огромное произведение, а обычные точки — малые. У некоррелированного облака с дисперсией около 1 и одной точкой в (a, a) корреляция примерно a² / (N + a²); при a² = 1,5 N это около 0,6 при любом N. Та же точка раздувает и s_x, и s_y, но ковариация растёт быстрее. Поэтому r называют неустойчивым: ошибка измерения или особый случай могут подчинить себе число, и такие точки стоит проверить, прежде чем толковать r.

Чем ковариация отличается от корреляции?

Ковариация s_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/(N − 1) несёт единицы x, умноженные на единицы y, поэтому её величина зависит от масштаба измерения: рост в сантиметрах вместо метров умножает её на 100. Деление на два стандартных отклонения снимает единицы и даёт r = s_xy / (s_x s_y), которое всегда лежит между −1 и +1 и не меняется при любом линейном перемасштабировании x или y. Ковариация сообщает знак и сырую силу совместного разброса; корреляция ставит его на общую шкалу, которую можно сравнивать между наборами данных.

Если у двух величин r = 0,9, значит ли это, что одна вызывает другую?

Нет. Корреляция описывает, как два набора чисел меняются вместе, а не почему. Высокое r совместимо с тем, что x вызывает y, y вызывает x, обе движет третья величина (продажи мороженого и утопления растут летом) или с тем, как отбирали данные. Заготовка с двумя кластерами показывает другую ловушку: r ≈ 0,96 возникает лишь потому, что две группы различаются по обеим величинам, а внутри каждой группы связи нет вовсе. Установить причинность можно контролируемым опытом или аккуратным причинным рассуждением, а не коэффициентом корреляции.

Корреляция Пирсона

Облако точек с настраиваемым r, эллипс ковариации и заготовка параболы, где r ≈ 0 при идеальной связи.

Облако точек

Целевая корреляция ρ0.7

Число точек N100

Заготовки (заменяют генератор)

Показать эллипс ковариации 1σПоказать прямую МНК

Точки берутся из двумерного нормального распределения с единичными дисперсиями: x ~ N(0,1), y = ρx + √(1−ρ²)·ε при ε ~ N(0,1), поэтому корреляция совокупности в точности равна ρ, а выборочное r рассеяно вокруг неё. Заготовки заменяют этот генератор; движение ползунка ρ возвращает к нему. r измеряет только линейную связь: парабола может дать r ≈ 0, один выброс может увести r далеко от остальных данных, и корреляция никогда не показывает причинность. Потяните любую точку или щёлкните пустое место, чтобы добавить точку, — r пересчитывается сразу.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — новое случайное облако (те же настройки)
R — сброс к исходным
Потяните точку · щёлкните пустое место, чтобы добавить точку

Измеренные величины

Точек N0

r Пирсона—

r²—

Ковариация s_xy—

СКО s_x—

СКО s_y—

Точки в квадрантах ++ / −−0

Точки в квадрантах +− / −+0

О модели

Симулятор рисует облако из N точек и показывает выборочный коэффициент корреляции Пирсона. По умолчанию точки берутся из двумерного нормального распределения с единичными дисперсиями: x ~ N(0, 1), ε ~ N(0, 1) и y = ρx + √(1 − ρ²)·ε — одношаговое построение Холецкого, так что корреляция совокупности x и y в точности равна значению ползунка ρ. Выборочное r считается стандартной формулой со средними за два прохода: сначала x̄ = Σxᵢ/N и ȳ = Σyᵢ/N, затем r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²). Показания дают также выборочную ковариацию s_xy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)/(N − 1), выборочные стандартные отклонения s_x и s_y с тем же знаменателем N − 1, r² и, когда прямая включена, наклон МНК b = s_xy / s_x² = r·s_y/s_x. Пунктирные линии средних делят плоскость на четыре квадранта; точка в квадранте ++ или −− даёт положительное слагаемое (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) в ковариацию и рисуется бирюзовым, точка в квадранте +− или −+ даёт отрицательное и рисуется розовым, и показаны числа обеих групп. Зелёный эллипс — контур 1σ подогнанного двумерного нормального: его оси — квадратные корни собственных значений матрицы ковариации [[s_x², s_xy], [s_xy, s_y²]], а наклон θ = ½·atan2(2s_xy, s_x² − s_y²). Заготовки заменяют генератор случаями, которые показывают пределы r: парабола y = x² на x ∈ [−1, 1] с малым шумом, где y — детерминированная функция x, но r ≈ 0; некоррелированное облако плюс одна далёкая точка в (√1,5N, √1,5N), которая одна поднимает r примерно до 0,6; и два тесных кластера без корреляции внутри, чей разнос даёт r ≈ 0,96. Точки можно перетаскивать и добавлять щелчком, и каждая статистика пересчитывается точно при каждом изменении. Упрощения: статистический вывод не показан (нет p-значения и доверительного интервала для r, нет z-преобразования Фишера), прямая регрессии — лишь наложение: сам метод наименьших квадратов разобран в math/least-squares, а качество подгонки — в math/linear-regression-metrics; график сам подбирает масштаб под данные, поэтому эллипс может выглядеть круглым или тонким в зависимости от диапазонов осей. Сопутствующие симуляторы: statistics/normal-distribution для маргинального распределения x и y, statistics/central-limit-theorem — почему средние многих точек ведут себя нормально.

Для кого: Старшая школа (10–12 класс) и вводный курс статистики первого курса; подходит и для основ анализа данных.

Ключевые понятия

коэффициент корреляции Пирсона r
ковариация
стандартное отклонение
линейная связь
коэффициент детерминации r²
выброс
двумерное нормальное распределение
корреляция и причинность

Как это работает

Коэффициент корреляции Пирсона r измеряет, насколько тесно облако точек следует прямой: r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √(Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)²), всегда между −1 и 1. Пунктир отмечает средние x̄ и ȳ; точка в квадранте ++ или −− (бирюзовая) даёт положительное произведение в ковариацию, точка в квадранте +− или −+ (розовая) — отрицательное, и r — просто ковариация, делённая на два стандартных отклонения. Зелёный эллипс 1σ наклонён ковариацией и становится тонкой диагональю при |r| → 1. r описывает только линейную связь: заготовка «Парабола» — идеальная связь y = x² при r ≈ 0, один далёкий выброс может поднять r с 0 до 0,6, а два разделённых кластера дают высокое r без связи внутри каждого. Высокое r само по себе никогда не показывает, что x вызывает y.

Основные формулы

r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √( Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)² ) = s_xy / (s_x s_y)

s_xy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / (N − 1), s_x² = Σ(xᵢ − x̄)² / (N − 1)

генератор: x ~ N(0,1), ε ~ N(0,1), y = ρx + √(1 − ρ²) ε ⇒ corr(x, y) = ρ

наклон МНК b = s_xy / s_x² = r · s_y / s_x

эллипс 1σ: оси √λ₁, √λ₂ матрицы ковариации [[s_x², s_xy], [s_xy, s_y²]], наклон θ = ½·atan2(2 s_xy, s_x² − s_y²)

Часто задаваемые вопросы

Почему у параболы r почти равен нулю, хотя y полностью определяется x?: r Пирсона измеряет только линейную связь: насколько хорошо прямая описывает облако. Для y = x² на симметричном промежутке точки с отрицательным x сидят в квадранте −+, а точки с положительным x — в квадранте ++, поэтому положительные и отрицательные произведения (x − x̄)(y − ȳ) взаимно гасятся, и ковариация близка к нулю. Связь идеальная, но не линейная, и r её не видит. Смотреть на диаграмму рассеяния, прежде чем доверять r, необходимо; корреляционное отношение или ранговая мера эту зависимость заметили бы, r Пирсона — нет.
Как одна точка может сдвинуть r с 0 до 0,6?: Каждое слагаемое ковариации — произведение двух отклонений от средних, поэтому точка далеко от обоих средних даёт огромное произведение, а обычные точки — малые. У некоррелированного облака с дисперсией около 1 и одной точкой в (a, a) корреляция примерно a² / (N + a²); при a² = 1,5 N это около 0,6 при любом N. Та же точка раздувает и s_x, и s_y, но ковариация растёт быстрее. Поэтому r называют неустойчивым: ошибка измерения или особый случай могут подчинить себе число, и такие точки стоит проверить, прежде чем толковать r.
Чем ковариация отличается от корреляции?: Ковариация s_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/(N − 1) несёт единицы x, умноженные на единицы y, поэтому её величина зависит от масштаба измерения: рост в сантиметрах вместо метров умножает её на 100. Деление на два стандартных отклонения снимает единицы и даёт r = s_xy / (s_x s_y), которое всегда лежит между −1 и +1 и не меняется при любом линейном перемасштабировании x или y. Ковариация сообщает знак и сырую силу совместного разброса; корреляция ставит его на общую шкалу, которую можно сравнивать между наборами данных.
Если у двух величин r = 0,9, значит ли это, что одна вызывает другую?: Нет. Корреляция описывает, как два набора чисел меняются вместе, а не почему. Высокое r совместимо с тем, что x вызывает y, y вызывает x, обе движет третья величина (продажи мороженого и утопления растут летом) или с тем, как отбирали данные. Заготовка с двумя кластерами показывает другую ловушку: r ≈ 0,96 возникает лишь потому, что две группы различаются по обеим величинам, а внутри каждой группы связи нет вовсе. Установить причинность можно контролируемым опытом или аккуратным причинным рассуждением, а не коэффициентом корреляции.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 10 в «Статистика и вероятность».

Вся категория →

НовоеДети

Нормальное распределение и z-оценки

Запустить симулятор

Колоколообразная кривая с μ и σ; закрашенные хвосты, правило 68–95–99.7 и встроенный перевод в z-оценку x → z = (x − μ)/σ.

НовоеПопулярноеДети

Доска Гальтона (ящик с шариками)

Запустить симулятор

Шарики отскакивают влево/вправо сквозь ряды штырьков; ячейки заполняют биномиальное, которое переходит в колокол. Мало рядов и много рядов.

НовоеДети

Биномиальное распределение

Запустить симулятор

Столбцы P(K = k) для n испытаний с успехом p; среднее np, дисперсия np(1−p); заготовки «монета» и «редкое событие»; нормальная кривая при большом n.

НовоеПопулярноеДети

Центральная предельная теорема

Запустить симулятор

Выберите исходное распределение (равномерное, экспоненциальное, биномиальное, кость), берите выборки объёма n = 1, 5, 30; гистограмма средних становится нормальной, а разброс убывает как σ/√n.

НовоеДети

Закон больших чисел

Запустить симулятор

Монета или кость: текущее среднее x̄ₙ нескольких прогонов сходится к μ; полоса ±σ/√n показывает, как медленно.

НовоеШкольные

Ошибки первого и второго рода и мощность критерия

Запустить симулятор

Две нормальные кривые (H₀ и H₁), порог решения; α, β и мощность 1−β как закрашенные площади; ползунки величины эффекта, σ и n.

Корреляция Пирсона

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Нормальное распределение и z-оценки

Доска Гальтона (ящик с шариками)

Биномиальное распределение

Центральная предельная теорема

Закон больших чисел

Ошибки первого и второго рода и мощность критерия

Корреляция Пирсона

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы