После десяти орлов подряд разве не «должна» выпасть решка?

Нет. Каждый бросок честной монеты независим, поэтому вероятность орла остаётся 1/2, что бы ни было раньше. Закон больших чисел работает не компенсацией: он говорит, что доля орлов стремится к 1/2, а не что число орлов стремится к числу решек. На самом деле разность счёта (число орлов − число решек) обычно растёт как √n. Избыток орлов не гасится; он разбавляется, потому что делится на всё большее n.

Сколько бросков нужно, чтобы текущее среднее оказалось в пределах 0,01 от 1/2?

Стандартное отклонение текущего среднего равно σ/√n, для честной монеты σ = 1/2. Из σ/√n = 0,01 получается n = 2500 для типичной ошибки в одно стандартное отклонение; чтобы попасть внутрь ±0,01 примерно в 95 % прогонов, нужно 2σ/√n = 0,01, то есть n = 10 000. Из-за квадратного корня ещё один десятичный знак точности всегда стоит в сто раз большего числа испытаний — поэтому на графике сходимость выглядит такой медленной.

Почему примерно 68 % прогонов лежат внутри полосы μ ± σ/√n и почему не ровно?

Для независимых испытаний дисперсия x̄ₙ равна ровно σ²/n, поэтому σ/√n — его точное стандартное отклонение. По центральной предельной теореме x̄ₙ приблизительно нормально, когда n — несколько десятков и больше, а нормальная величина лежит в пределах одного стандартного отклонения от среднего с вероятностью 0,683. Для малых n значение лишь приближённое: распределение x̄ₙ ещё дискретно и скошено (особенно у нечестной монеты), а при 5 или 8 прогонах наблюдаемая доля принимает лишь несколько значений и колеблется около 68 %, а не равна ей.

Закон больших чисел верен и для нечестной монеты, и для рулетки?

Да. Закону нужны лишь независимые одинаково распределённые исходы с конечным средним; для скорости сходимости хватает конечной дисперсии. Текущее среднее нечестной монеты сходится к p = 0,3, а ставки в рулетке — к 18/37 ≈ 0,486, а не к 1/2. Для игрока это плохая новость: среднее выигрыша за один запуск сходится к отрицательному числу (−1/37 ставки при ставке равных шансов), поэтому чем дольше игра, тем потеря вернее, а не меньше.

Закон больших чисел

Монета или кость: текущее среднее x̄ₙ нескольких прогонов сходится к μ; полоса ±σ/√n показывает, как медленно.

Опыт

Случайный опыт

Параллельные прогоны5

Испытаний в секунду: 2048/100

Полоса μ ± σ/√nПолоса μ ± 2σ/√nПоказать разность счёта (Sₙ − nμ, напр. число орлов − n/2)

Каждый прогон берёт независимые исходы из генератора с зерном («Сброс» меняет зерно; при смене опыта зерно сохраняется). Текущее среднее обновляется пошагово, x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n, а μ и σ точны: монета μ = p, σ = √(p(1−p)); кость μ = 3,5, σ = √(35/12). Закон больших чисел — про сходимость среднего к μ: разность счёта Sₙ − nμ не убывает, её типичный размер растёт как σ√n.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — одно испытание каждому прогону
P — пуск / пауза
R — сброс (новое зерно)

Измеренные величины

μ (теория)0.5000

σ (одно испытание)0.5000

Испытаний n уже0

x̄ₙ (прогон 1)—

|x̄ₙ − μ| (прогон 1)—

σ/√n при текущем n—

Разброс прогонов (макс − мин)—

Прогонов внутри μ ± σ/√n—

Разность счёта Sₙ − nμ (прогон 1)—

О модели

Симулятор много раз повторяет один случайный опыт и следит за текущим средним x̄ₙ = (x₁ + … + xₙ)/n, пока число испытаний n растёт от 1 до 10 000. Доступны четыре опыта, у каждого математическое ожидание μ и стандартное отклонение σ одного исхода в замкнутом виде: честная монета, орёл = 1 (μ = 1/2, σ = 1/2), честная шестигранная кость (μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708), нечестная монета с P(орёл) = 0,3 (μ = 0,3, σ = √(0,3·0,7) ≈ 0,458) и ставка на красное в рулетке с одним зеро, 18 красных карманов из 37 (μ = 18/37 ≈ 0,486, σ = √(μ(1−μ)) ≈ 0,500). До восьми независимых прогонов идут параллельно из псевдослучайного генератора с зерном (mulberry32), поэтому сеанс воспроизводим, пока «Сброс» не возьмёт новое зерно; текущее среднее обновляется пошагово, x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n, это численно устойчиво и не требует хранить список выборки. На графике логарифмическая ось n, поэтому большие ранние колебания и медленная поздняя сходимость видны на одной картинке. Жёлтая горизонтальная линия — μ; закрашенная полоса μ ± σ/√n — точное стандартное отклонение x̄ₙ при независимых испытаниях, Var(x̄ₙ) = σ²/n, а необязательная вторая полоса — μ ± 2σ/√n. При n в несколько десятков и больше центральная предельная теорема делает x̄ₙ приблизительно нормальным, поэтому около 68 % прогонов должны лежать в первой полосе и около 95 % — во второй; показания считают, сколько текущих прогонов лежит внутри. Флажок «Показать разность счёта» рисует те же данные в виде Sₙ − nμ (для честной монеты это ровно число орлов − n/2). Его стандартное отклонение равно σ√n: разность счёта не убывает, а растёт, хотя среднее сходится — закон больших чисел говорит о средних, а не о счётах, и он никогда не «компенсирует» прошлые исходы. Упрощения: исходы независимы и одинаково распределены с конечной дисперсией (допущения слабого и усиленного законов), генератор псевдослучайный, и картина обрывается на n = 10⁴. Рядом на сайте: statistics/galton-board и statistics/binomial-distribution (распределение самой Sₙ), statistics/central-limit-theorem (почему x̄ₙ становится нормальным), statistics/confidence-interval (как из σ/√n строят интервал для μ), а также math/monte-carlo-pi и math/monte-carlo-integration-variance-reduction (тот же закон ошибки 1/√n в оценке Монте-Карло).

Для кого: Старшая школа (10–12 класс) и вводные курсы теории вероятностей и статистики первого курса.

Ключевые понятия

закон больших чисел
текущее среднее
математическое ожидание μ
стандартное отклонение σ
стандартная ошибка σ/√n
независимые испытания
ошибка игрока
сходимость по вероятности

Как это работает

Каждый прогон повторяет один и тот же случайный опыт — честную монету (орёл = 1), честную кость, нечестную монету с p = 0,3 или ставку на красное в рулетке (18 из 37 карманов) — и строит текущее среднее x̄ₙ против числа испытаний n на логарифмической оси, так что ранние резкие колебания и поздняя медленная сходимость видны вместе. Закон больших чисел говорит, что x̄ₙ сходится к математическому ожиданию μ; жёлтая полоса μ ± σ/√n — стандартное отклонение x̄ₙ, поэтому около 68 % прогонов лежат внутри неё при любом n, и она убывает лишь как 1/√n — в сто раз больше испытаний дают ещё один десятичный знак. Закон — про среднее, не про счёт: включите «Показать разность счёта», и те же данные рисуются как Sₙ − nμ (число орлов − n/2 для монеты), которое не возвращается к нулю, а блуждает с типичным размером σ√n — нет «закона средних», по которому после череды орлов «должна» выпасть решка. Исходы берёт генератор с зерном, поэтому прогон воспроизводим, пока не нажат «Сброс».

Основные формулы

x̄ₙ = (x₁ + … + xₙ)/n → μ при n → ∞ (P(|x̄ₙ − μ| > ε) → 0 при любом ε > 0)

СКО(x̄ₙ) = σ/√n — убывает; СКО(Sₙ − nμ) = σ√n — растёт

x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ − x̄ₙ₋₁)/n (пошаговое обновление)

монета: μ = p, σ = √(p(1−p)); кость: μ = 3,5, σ = √(35/12) ≈ 1,708; красное: p = 18/37

Часто задаваемые вопросы

После десяти орлов подряд разве не «должна» выпасть решка?: Нет. Каждый бросок честной монеты независим, поэтому вероятность орла остаётся 1/2, что бы ни было раньше. Закон больших чисел работает не компенсацией: он говорит, что доля орлов стремится к 1/2, а не что число орлов стремится к числу решек. На самом деле разность счёта (число орлов − число решек) обычно растёт как √n. Избыток орлов не гасится; он разбавляется, потому что делится на всё большее n.
Сколько бросков нужно, чтобы текущее среднее оказалось в пределах 0,01 от 1/2?: Стандартное отклонение текущего среднего равно σ/√n, для честной монеты σ = 1/2. Из σ/√n = 0,01 получается n = 2500 для типичной ошибки в одно стандартное отклонение; чтобы попасть внутрь ±0,01 примерно в 95 % прогонов, нужно 2σ/√n = 0,01, то есть n = 10 000. Из-за квадратного корня ещё один десятичный знак точности всегда стоит в сто раз большего числа испытаний — поэтому на графике сходимость выглядит такой медленной.
Почему примерно 68 % прогонов лежат внутри полосы μ ± σ/√n и почему не ровно?: Для независимых испытаний дисперсия x̄ₙ равна ровно σ²/n, поэтому σ/√n — его точное стандартное отклонение. По центральной предельной теореме x̄ₙ приблизительно нормально, когда n — несколько десятков и больше, а нормальная величина лежит в пределах одного стандартного отклонения от среднего с вероятностью 0,683. Для малых n значение лишь приближённое: распределение x̄ₙ ещё дискретно и скошено (особенно у нечестной монеты), а при 5 или 8 прогонах наблюдаемая доля принимает лишь несколько значений и колеблется около 68 %, а не равна ей.
Закон больших чисел верен и для нечестной монеты, и для рулетки?: Да. Закону нужны лишь независимые одинаково распределённые исходы с конечным средним; для скорости сходимости хватает конечной дисперсии. Текущее среднее нечестной монеты сходится к p = 0,3, а ставки в рулетке — к 18/37 ≈ 0,486, а не к 1/2. Для игрока это плохая новость: среднее выигрыша за один запуск сходится к отрицательному числу (−1/37 ставки при ставке равных шансов), поэтому чем дольше игра, тем потеря вернее, а не меньше.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 10 в «Статистика и вероятность».

Вся категория →

НовоеДети

Биномиальное распределение

Запустить симулятор

Столбцы P(K = k) для n испытаний с успехом p; среднее np, дисперсия np(1−p); заготовки «монета» и «редкое событие»; нормальная кривая при большом n.

НовоеПопулярноеДети

Центральная предельная теорема

Запустить симулятор

Выберите исходное распределение (равномерное, экспоненциальное, биномиальное, кость), берите выборки объёма n = 1, 5, 30; гистограмма средних становится нормальной, а разброс убывает как σ/√n.

НовоеПопулярноеДети

Доска Гальтона (ящик с шариками)

Запустить симулятор

Шарики отскакивают влево/вправо сквозь ряды штырьков; ячейки заполняют биномиальное, которое переходит в колокол. Мало рядов и много рядов.

НовоеДети

Нормальное распределение и z-оценки

Запустить симулятор

Колоколообразная кривая с μ и σ; закрашенные хвосты, правило 68–95–99.7 и встроенный перевод в z-оценку x → z = (x − μ)/σ.

НовоеШкольные

Симулятор доверительного интервала

Запустить симулятор

Возьмите выборку, постройте интервал 90/95/99 % для μ; повторите 100 раз и посчитайте, сколько интервалов накрывают истинное среднее.

НовоеШкольные

Что такое p-значение

Запустить симулятор

Статистика критерия на плотности при нулевой гипотезе; закрашенный одно- или двусторонний хвост — это p-значение. Почему это не вероятность того, что H₀ верна.

Закон больших чисел

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Биномиальное распределение

Центральная предельная теорема

Доска Гальтона (ящик с шариками)

Нормальное распределение и z-оценки

Симулятор доверительного интервала

Что такое p-значение

Закон больших чисел

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы