- Por que a barra de k = 5 é a mais alta em 10 lançamentos de moeda, mas ainda assim só cerca de 25 %?
- Com n = 10 e p = 0,5 a média é np = 5, de modo que 5 caras é a contagem isolada mais provável. Há C(10, 5) = 252 sequências com exatamente cinco caras em 2¹⁰ = 1024 sequências igualmente prováveis, o que dá P(K = 5) = 252/1024 ≈ 0,246. Os três quartos restantes da probabilidade se espalham pelas outras contagens: 4 ou 6 caras têm cada uma cerca de 0,205, 3 ou 7 cerca de 0,117, e assim por diante. «Mais provável», portanto, não quer dizer «provável»; a probabilidade de cair a até um desvio padrão (√2,5 ≈ 1,58) da média, isto é, 4 ≤ K ≤ 6, é cerca de 0,66.
- O que faz a correção de continuidade, e por que ela é necessária?
- A variável binomial só toma números inteiros, enquanto uma variável normal toma qualquer valor real. Para aproximar P(K ≤ k) com a curva normal, cada inteiro k é representado pelo intervalo de k − ½ a k + ½, de modo que o evento inteiro K ≤ k corresponde à área sob a curva até k + ½, e não até k. Sem a metade, a aproximação deixa de fora, de forma sistemática, meia barra. Para P(K = k) o valor corrigido é a área entre k − ½ e k + ½, próxima da altura da barra; com a correção o erro para n = 20, p = 0,5 fica abaixo de 0,001 em k = 10, enquanto sem ela a normal dá P(K ≤ 10) ≈ 0,500 em vez do exato 0,588, um erro de quase meia barra.
- Quando a aproximação de Poisson é boa, e quando não devo usá-la?
- A distribuição de Poisson com média λ = np é o limite da binomial quando n cresce e p diminui com np fixo. Ela é precisa quando p é pequeno, mais ou menos p ≤ 0,05, e n é grande o bastante para np ser moderado; para n = 100, p = 0,03 as duas distribuições concordam até cerca de 0,004 em cada k. Para p perto de 0,5 ela é uma aproximação ruim: a Poisson tem variância λ = np, enquanto a binomial tem variância np(1 − p), só a metade em p = 0,5, de modo que as hastes de Poisson ficam visivelmente largas demais. Aí a ferramenta certa é a aproximação normal.
- Depois de 1000 experimentos os contornos rosa ainda não coincidem exatamente com as barras ciano. Há algo errado?
- Não. Cada barra rosa é uma frequência relativa, uma estimativa amostral da probabilidade exata correspondente, e ela flutua de uma corrida a outra. Uma barra cuja probabilidade verdadeira é q tem erro padrão √(q(1 − q)/N) em N experimentos; para q = 0,25 e N = 1000 isso é cerca de 0,014, de modo que desvios de um ou dois centésimos são esperados. Quando N cresce o erro padrão encolhe como 1/√N: dez mil experimentos o reduzem por um fator de cerca de três, não de dez. O mesmo efeito aparece na média empírica, que se aproxima de np, mas não é exatamente np.