Pourquoi la barre k = 5 est-elle la plus haute pour 10 lancers de pièce, tout en ne valant qu’environ 25 % ?

Avec n = 10 et p = 0,5, la moyenne est np = 5, donc 5 faces est l’unique compte le plus probable. Il y a C(10, 5) = 252 suites avec exactement cinq faces, sur 2¹⁰ = 1024 suites équiprobables, d’où P(K = 5) = 252/1024 ≈ 0,246. Les trois quarts restants de la probabilité se répartissent sur les autres comptes : 4 ou 6 faces ont chacun environ 0,205, 3 ou 7 environ 0,117, et ainsi de suite. « Le plus probable » ne veut donc pas dire « probable » ; la probabilité de se trouver à moins d’un écart-type (√2,5 ≈ 1,58) de la moyenne, c’est-à-dire 4 ≤ K ≤ 6, vaut environ 0,66.

Que fait la correction de continuité, et pourquoi est-elle nécessaire ?

La variable binomiale ne prend que des entiers, tandis qu’une variable normale prend n’importe quelle valeur réelle. Pour approcher P(K ≤ k) par la courbe normale, chaque entier k est représenté par l’intervalle allant de k − ½ à k + ½, si bien que tout l’événement K ≤ k correspond à l’aire sous la courbe jusqu’à k + ½, et non jusqu’à k. Sans le ½, l’approximation manque systématiquement une demi-barre. Pour P(K = k), la valeur corrigée est l’aire entre k − ½ et k + ½, proche de la hauteur de la barre ; avec la correction, l’erreur pour n = 20 et p = 0,5 est inférieure à 0,001 en k = 10, tandis que sans elle la normale donne P(K ≤ 10) ≈ 0,500 au lieu de la valeur exacte 0,588, soit une erreur de presque une demi-barre.

Quand l’approximation de Poisson est-elle bonne, et quand ne faut-il pas l’utiliser ?

La loi de Poisson de moyenne λ = np est la limite de la binomiale quand n grandit et que p diminue, np restant fixé. Elle est précise quand p est petit, à peu près pour p ≤ 0,05, et que n est assez grand pour que np soit modéré ; pour n = 100 et p = 0,03, les deux lois concordent à environ 0,004 près pour chaque k. Pour p proche de 0,5, c’est une mauvaise approximation : la Poisson a pour variance λ = np, tandis que la binomiale a pour variance np(1 − p), qui ne vaut que la moitié à p = 0,5, si bien que les tiges de Poisson sont visiblement trop larges. L’approximation normale est alors le bon outil.

Après 1 000 expériences, les contours roses ne coïncident toujours pas exactement avec les barres cyan. Quelque chose ne va-t-il pas ?

Non. Chaque barre rose est une fréquence relative, une estimation sur un échantillon de la probabilité exacte correspondante, et elle fluctue d’une série à l’autre. Une barre dont la vraie probabilité est q a pour erreur type √(q(1 − q)/N) sur N expériences ; pour q = 0,25 et N = 1 000, cela vaut environ 0,014, donc des écarts d’un ou deux centièmes sont attendus. Quand N augmente, l’erreur type diminue comme 1/√N : dix mille expériences la réduisent d’un facteur d’environ trois, et non de dix. Le même effet apparaît pour la moyenne empirique, qui se rapproche de np sans lui être exactement égale.

Loi binomiale

Barres de P(K = k) pour n épreuves de probabilité de succès p ; moyenne np, variance np(1−p) ; préréglages pièce et événement rare ; normale superposée quand n est grand.

Loi binomiale

Nombre d’épreuves n10

Probabilité de succès p0.5

Surlignage

k choisi5

Approximation normale N(np, np(1−p))Approximation de Poisson Pois(np)

Chaque expérience comprend n épreuves indépendantes avec la même probabilité de succès p ; le nombre de succès K est binomial. Les barres cyan sont la fonction de masse exacte, calculée par le logarithme gamma ; les contours roses sont les fréquences relatives de vos expériences. Changer n ou p efface l’histogramme empirique. L’affichage normal utilise la correction de continuité (k ± ½) ; Poisson(np) n’est une bonne approximation que lorsque p est petit et n grand.

Raccourcis clavier

Espace / Entrée — lancer 1 expérience
R — réinitialiser l’histogramme empirique
Glisser le marqueur sur le graphique pour déplacer k

Mesures

Épreuves n10

Probabilité de succès p0.50

Moyenne np5.00

Variance np(1−p)2.500

Écart-type1.581

P(K = 5) (exacte)0.24609

Approx. normale (corr. de continuité)0.24817

|exacte − normale|0.00208

Expériences lancées0

Moyenne empirique de K—

Dernière expérience : succès—

À propos du modèle

Le simulateur représente un nombre fixé n d’épreuves indépendantes, chacune réussissant avec la même probabilité p, et compte le nombre de succès K. Sous ces deux hypothèses (indépendance et p constant), K suit la loi binomiale : P(K = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^(n − k) pour k = 0, 1, …, n, où C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) est le nombre de suites dans lesquelles exactement k des n épreuves réussissent. La moyenne est E[K] = np et la variance est Var K = np(1 − p) ; l’écart-type est la racine carrée de la variance. Les barres cyan sont cette fonction de masse exacte. Elle est évaluée par le logarithme de la fonction gamma (une approximation de Lanczos de ln Γ), si bien que les barres restent justes même pour n = 200, où n! lui-même déborderait ; les probabilités cumulées P(K ≤ k) et P(K ≥ k) sont des sommes de ces termes en double précision, la queue supérieure étant sommée depuis l’extrémité afin qu’il n’y ait pas d’annulation. La courbe jaune est la densité normale de même moyenne et de même variance, N(np, np(1 − p)). Comme la binomiale est discrète et la normale continue, l’approximation normale d’une probabilité se lit avec la correction de continuité : P(K ≤ k) ≈ Φ((k + ½ − np)/σ), P(K = k) ≈ Φ((k + ½ − np)/σ) − Φ((k − ½ − np)/σ), où Φ est la fonction de répartition de la normale centrée réduite, calculée par une approximation de erfc précise à environ 10⁻¹⁶. L’affichage donne la valeur exacte, la valeur normale et leur différence absolue, petite lorsque np(1 − p) est grand (une règle pratique courante est np ≥ 10 et n(1 − p) ≥ 10). Les tiges vertes sont la loi de Poisson de même moyenne, Pois(np) ; elle approche bien la binomiale quand n est grand et p petit, comme dans le préréglage événement rare (n = 100, p = 0,03), et mal sinon. La couche empirique lance n pièces à l’aide d’un générateur pseudo-aléatoire à graine ; le nombre de faces est un échantillon de K, ajouté à l’histogramme en contour rose des fréquences relatives, qui converge vers les barres cyan quand le nombre d’expériences grandit. Simplifications : les épreuves sont exactement indépendantes, avec p constant ; le tirage sans remise (le cas hypergéométrique) n’est pas modélisé, et les pièces ne font qu’illustrer une épreuve de Bernoulli générique. Simulateurs associés sur le site : statistics/galton-board, qui construit la même loi mécaniquement par des rebonds à gauche et à droite ; statistics/normal-distribution pour la courbe limite ; statistics/law-of-large-numbers, qui explique pourquoi la moyenne empirique se stabilise à np ; et statistics/p-value, où les probabilités de queue binomiales apparaissent comme valeurs p exactes d’un test.

Public : Lycée (seconde à terminale), chapitres de probabilités, et introduction à la statistique en début de licence ; aucun calcul différentiel n’est requis.

Notions clés

épreuve de Bernoulli
coefficient binomial C(n, k)
fonction de masse
probabilité cumulée
espérance np
variance np(1 − p)
correction de continuité
approximation de Poisson

Comment ça marche

Répétez la même épreuve de Bernoulli n fois, indépendamment et avec la même probabilité de succès p ; le nombre de succès K suit la loi binomiale, avec P(K = k) = C(n, k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Sa moyenne est np et sa variance np(1−p), donc les barres sont les plus hautes près de np et leur dispersion relative se réduit comme 1/√n. Pour n grand, les barres suivent une courbe normale N(np, np(1−p)) ; la correction de continuité remplace le k discret par l’intervalle [k−½, k+½] lorsqu’on lit l’approximation normale. Quand p est petit et n grand, K est proche de Poisson(np). Les pièces lancées montrent une expérience ; les contours roses rassemblent beaucoup d’expériences et se rapprochent des barres exactes.

Formules

P(K = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0 … n

E[K] = np, Var K = np(1 − p), écart-type = √(np(1 − p))

P(K ≤ k) ≈ Φ((k + ½ − np) / √(np(1 − p))) (correction de continuité)

p petit, n grand : P(K = k) ≈ e^(−np) (np)ᵏ / k!

Questions fréquentes

Pourquoi la barre k = 5 est-elle la plus haute pour 10 lancers de pièce, tout en ne valant qu’environ 25 % ?: Avec n = 10 et p = 0,5, la moyenne est np = 5, donc 5 faces est l’unique compte le plus probable. Il y a C(10, 5) = 252 suites avec exactement cinq faces, sur 2¹⁰ = 1024 suites équiprobables, d’où P(K = 5) = 252/1024 ≈ 0,246. Les trois quarts restants de la probabilité se répartissent sur les autres comptes : 4 ou 6 faces ont chacun environ 0,205, 3 ou 7 environ 0,117, et ainsi de suite. « Le plus probable » ne veut donc pas dire « probable » ; la probabilité de se trouver à moins d’un écart-type (√2,5 ≈ 1,58) de la moyenne, c’est-à-dire 4 ≤ K ≤ 6, vaut environ 0,66.
Que fait la correction de continuité, et pourquoi est-elle nécessaire ?: La variable binomiale ne prend que des entiers, tandis qu’une variable normale prend n’importe quelle valeur réelle. Pour approcher P(K ≤ k) par la courbe normale, chaque entier k est représenté par l’intervalle allant de k − ½ à k + ½, si bien que tout l’événement K ≤ k correspond à l’aire sous la courbe jusqu’à k + ½, et non jusqu’à k. Sans le ½, l’approximation manque systématiquement une demi-barre. Pour P(K = k), la valeur corrigée est l’aire entre k − ½ et k + ½, proche de la hauteur de la barre ; avec la correction, l’erreur pour n = 20 et p = 0,5 est inférieure à 0,001 en k = 10, tandis que sans elle la normale donne P(K ≤ 10) ≈ 0,500 au lieu de la valeur exacte 0,588, soit une erreur de presque une demi-barre.
Quand l’approximation de Poisson est-elle bonne, et quand ne faut-il pas l’utiliser ?: La loi de Poisson de moyenne λ = np est la limite de la binomiale quand n grandit et que p diminue, np restant fixé. Elle est précise quand p est petit, à peu près pour p ≤ 0,05, et que n est assez grand pour que np soit modéré ; pour n = 100 et p = 0,03, les deux lois concordent à environ 0,004 près pour chaque k. Pour p proche de 0,5, c’est une mauvaise approximation : la Poisson a pour variance λ = np, tandis que la binomiale a pour variance np(1 − p), qui ne vaut que la moitié à p = 0,5, si bien que les tiges de Poisson sont visiblement trop larges. L’approximation normale est alors le bon outil.
Après 1 000 expériences, les contours roses ne coïncident toujours pas exactement avec les barres cyan. Quelque chose ne va-t-il pas ?: Non. Chaque barre rose est une fréquence relative, une estimation sur un échantillon de la probabilité exacte correspondante, et elle fluctue d’une série à l’autre. Une barre dont la vraie probabilité est q a pour erreur type √(q(1 − q)/N) sur N expériences ; pour q = 0,25 et N = 1 000, cela vaut environ 0,014, donc des écarts d’un ou deux centièmes sont attendus. Quand N augmente, l’erreur type diminue comme 1/√N : dix mille expériences la réduisent d’un facteur d’environ trois, et non de dix. Le même effet apparaît pour la moyenne empirique, qui se rapproche de np sans lui être exactement égale.

Poursuivez avec des thèmes proches de cette catégorie — ou les 10 de «Statistiques et probabilités».

Toute la catégorie →

NouveauEnfants

Loi des grands nombres

Lancer la simulation

Pièce ou dé : la moyenne empirique x̄ₙ de plusieurs séries converge vers μ ; l’enveloppe ±σ/√n montre à quel point c’est lent.

NouveauPopulaireEnfants

Planche de Galton (machine à billes)

Lancer la simulation

Des billes rebondissent à gauche ou à droite le long de rangées de clous ; les cases dessinent une binomiale qui devient une courbe en cloche. Peu de rangées, ou beaucoup.

NouveauPopulaireEnfants

Théorème central limite

Lancer la simulation

Choisissez une loi parente (uniforme, exponentielle, binomiale, dé) et tirez des échantillons de taille n = 1, 5, 30 ; l’histogramme des moyennes devient normal et son étalement se resserre comme σ/√n.

NouveauEnfants