Значит ли доверительный интервал 95 %, что вероятность того, что μ лежит внутри только что построенного интервала, равна 95 %?

Нет. Среднее совокупности μ — фиксированное число, и конкретный интервал на экране либо содержит его, либо нет: после того как выборка взята, случайности не остаётся. 95 % описывают процедуру: если много раз повторять отбор, около 95 % построенных интервалов будут содержать μ. Симулятор показывает именно это: каждый отрезок — одно повторение, и счётчик приближается к 95 % с ростом числа интервалов, хотя последний интервал вполне может оказаться одним из розовых промахов.

Почему с ростом n интервалы становятся уже и насколько?

Полуширина равна c·σ/√n (или c·s/√n), поэтому ширина убывает как корень из объёма выборки, а не как само n. Увеличение n вчетверо, с 20 до 80, уменьшает ширину вдвое; переход от n = 20 к n = 200 сжимает её примерно в √10 ≈ 3,2 раза. В методе t помогает и второй, меньший эффект: t* при ν = n − 1 убывает к z* с ростом n — от 2,776 при n = 5 до 2,093 при n = 20 и 1,972 при n = 200 для уровня 95 %. Покрытие при этом от n не зависит: правильная процедура 95 % накрывает μ примерно в 95 % случаев, будь n равен 2 или 200.

Почему покрытие падает ниже 95 %, если включить «Брать z*, хотя σ неизвестно»?

Интервал x̄ ± 1,96·s/√n делает вид, что s — это истинное σ. В малой выборке само s шумно, а из-за скошенности распределения s оно оказывается ниже σ чаще, чем выше. Когда s слишком мало, интервал слишком короток и склонен промахнуться мимо μ; значение z* этого не компенсирует. Критическое значение t Стьюдента компенсирует: оно больше z* ровно настолько, чтобы P(|x̄ − μ| ≤ t*·s/√n) равнялась номинальному уровню. При n = 5 разрыв велик (t* = 2,776 против 1,960, и покрытие z вместе с s около 88 %); к n = 30 он мал (2,045 против 1,960, покрытие около 94 %) — отсюда старое правило «брать z при n ≥ 30».

Почему в методе t ширина интервала каждый раз другая, а в методе z все отрезки одной длины?

В методе z полуширина z*·σ/√n использует только известные постоянные, поэтому у всех интервалов одна длина и двигается лишь центр x̄. В методе t полуширина t*·s/√n использует выборочное стандартное отклонение s, которое заново считается по каждой выборке; s колеблется вокруг σ, сильно при малом n и слабо при большом, поэтому отрезки разной длины. Средняя ширина в панели поэтому чуть отличается от t*·σ/√n, потому что математическое ожидание s немного меньше σ (множитель c₄ равен 0,940 при n = 5 и 0,987 при n = 20).

Симулятор доверительного интервала

Возьмите выборку, постройте интервал 90/95/99 % для μ; повторите 100 раз и посчитайте, сколько интервалов накрывают истинное среднее.

Выборка

Объём выборки n20

Уровень доверия

Метод

Брать z*, хотя σ неизвестно (нарочно неверно)

Скорость автонабора3 выборок/с

Совокупность

Среднее совокупности μ50

СКО совокупности σ10

Каждая выборка — n независимых наблюдений из нормальной совокупности N(μ, σ²). Интервал равен x̄ ± c·σ/√n с c = z*, когда σ считают известным, или x̄ ± c·s/√n с c = t* (ν = n − 1), когда σ оценивают выборочным СКО s. Смена любой настройки очищает набор, чтобы счёт покрытия всегда относился к одной фиксированной процедуре. Совокупность в точности нормальна; для скошенных данных t-интервал при малом n лишь приближённо верен.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — взять одну выборку
P — автонабор вкл / выкл
R — сброс (новое зерно)

Измеренные величины

Объём выборки n20

Уровень доверия95%

t* (ν = n − 1 = 19)2.0930

Последнее x̄—

Последнее выборочное s—

Последняя предельная погрешность—

Последний интервал [низ, верх]—

Построено интервалов0

Покрытие (содержат μ)—

Номинальный уровень95%

Средняя ширина—

О модели

Симулятор много раз повторяет одну и ту же фиксированную процедуру. Генеральная совокупность задана нормальным распределением N(μ, σ²) с μ = 50 и σ = 10 по умолчанию; каждое нажатие «Взять 1 выборку» берёт из неё n независимых значений, считает выборочное среднее x̄ = Σxᵢ/n и выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)) и строит двусторонний интервал для μ. В методе z σ совокупности считается известным, и интервал равен x̄ ± z*·σ/√n, где z* = Φ⁻¹(1 − α/2) и α = 1 − уровень; для 80, 90, 95 и 99 % критические значения равны 1,2816, 1,6449, 1,9600 и 2,5758. В методе t вместо σ стоит s, а критическое значение — квантиль t* распределения Стьюдента с ν = n − 1 степенями свободы, так что P(|T| ≤ t*) = уровень. Обратное нормальное считается рациональным приближением Аклама, уточнённым шагами Ньютона по erfc Коди (полная двойная точность), а квантиль t — обращением точной функции распределения t, F_ν(t) = 1 − ½·I_{ν/(ν+t²)}(ν/2, ½), где I — регуляризованная неполная бета-функция, вычисленная непрерывной дробью из Numerical Recipes; обращение — защищённая итерация Ньютона внутри вилки деления пополам, и оно совпадает с печатными таблицами t с погрешностью меньше 10⁻⁶. Каждый интервал рисуется горизонтальным отрезком с центром в своём x̄: бирюзовым, если содержит μ, и розовым, если промахивается; счётчик сообщает, сколько из уже построенных интервалов содержат μ, рядом с номинальным уровнем. Поскольку генератор случайных чисел имеет зерно, «Сброс» начинает новый воспроизводимый прогон. Флажок «Брать z*, хотя σ неизвестно» нарочно совершает типичную ошибку учебника: соединяет нормальное критическое значение с выборочным s. При n = 5 на уровне 95 % фактическое покрытие падает примерно до 88 %, потому что s чаще занижает σ, чем завышает, а значение z* игнорирует эту лишнюю неопределённость; возврат к t* восстанавливает номинальное покрытие при любом n. Упрощения: совокупность в точности нормальна, наблюдения независимы, интервалы симметричные двусторонние; для скошенных совокупностей или зависимых данных заявленное покрытие верно лишь приближённо и только при большом n. Сопутствующие симуляторы: statistics/normal-distribution (используемые здесь Φ и Φ⁻¹), statistics/central-limit-theorem (почему x̄ приблизительно нормально со СКО σ/√n), statistics/law-of-large-numbers (как текущее покрытие сходится к номинальному уровню), а также statistics/p-value и statistics/type-i-ii-errors-power (те же критические значения в проверке гипотез).

Для кого: Старшая школа (10–12 класс) и вводный курс статистики первого курса (AP Statistics, A-level, вводный статистический вывод).

Ключевые понятия

доверительный интервал
уровень доверия
вероятность покрытия
выборочное среднее x̄ и стандартная ошибка σ/√n
критические значения z* и t*
распределение Стьюдента и степени свободы
предельная погрешность
выборочное распределение

Как это работает

Каждая выборка объёма n из нормальной совокупности N(μ, σ²) даёт выборочное среднее x̄ и доверительный интервал x̄ ± c·(масштаб)/√n; от выборки к выборке интервал сдвигается, а μ стоит на месте. Уровень доверия — свойство процедуры, а не одного интервала: в длинной серии около 95 % интервалов уровня 95 % содержат μ, и симулятор считает именно это, пока копятся бирюзовые (попадание) и розовые (промах) отрезки. Когда σ известно, критическое значение z* берётся из обратного нормального; когда σ заменяют выборочным стандартным отклонением s, за лишнюю неопределённость платят более широким критическим значением t Стьюдента t* с ν = n − 1 степенями свободы. Включите «Брать z*, хотя σ неизвестно» и смотрите, как покрытие падает ниже номинального уровня при малом n — то самое недопокрытие, исправлять которое и придумали распределение t. Совокупность в точности нормальна, наблюдения независимы; интервалы двусторонние и симметричные.

Основные формулы

σ известно: x̄ ± z*·σ/√n, z* = Φ⁻¹(1 − α/2), α = 1 − уровень

σ неизвестно: x̄ ± t*·s/√n, t* = F⁻¹_ν(1 − α/2), ν = n − 1

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)

F_ν(t) = 1 − ½·I_{ν/(ν+t²)}(ν/2, ½) (регуляризованная неполная бета)

Часто задаваемые вопросы

Значит ли доверительный интервал 95 %, что вероятность того, что μ лежит внутри только что построенного интервала, равна 95 %?: Нет. Среднее совокупности μ — фиксированное число, и конкретный интервал на экране либо содержит его, либо нет: после того как выборка взята, случайности не остаётся. 95 % описывают процедуру: если много раз повторять отбор, около 95 % построенных интервалов будут содержать μ. Симулятор показывает именно это: каждый отрезок — одно повторение, и счётчик приближается к 95 % с ростом числа интервалов, хотя последний интервал вполне может оказаться одним из розовых промахов.
Почему с ростом n интервалы становятся уже и насколько?: Полуширина равна c·σ/√n (или c·s/√n), поэтому ширина убывает как корень из объёма выборки, а не как само n. Увеличение n вчетверо, с 20 до 80, уменьшает ширину вдвое; переход от n = 20 к n = 200 сжимает её примерно в √10 ≈ 3,2 раза. В методе t помогает и второй, меньший эффект: t* при ν = n − 1 убывает к z* с ростом n — от 2,776 при n = 5 до 2,093 при n = 20 и 1,972 при n = 200 для уровня 95 %. Покрытие при этом от n не зависит: правильная процедура 95 % накрывает μ примерно в 95 % случаев, будь n равен 2 или 200.
Почему покрытие падает ниже 95 %, если включить «Брать z*, хотя σ неизвестно»?: Интервал x̄ ± 1,96·s/√n делает вид, что s — это истинное σ. В малой выборке само s шумно, а из-за скошенности распределения s оно оказывается ниже σ чаще, чем выше. Когда s слишком мало, интервал слишком короток и склонен промахнуться мимо μ; значение z* этого не компенсирует. Критическое значение t Стьюдента компенсирует: оно больше z* ровно настолько, чтобы P(|x̄ − μ| ≤ t*·s/√n) равнялась номинальному уровню. При n = 5 разрыв велик (t* = 2,776 против 1,960, и покрытие z вместе с s около 88 %); к n = 30 он мал (2,045 против 1,960, покрытие около 94 %) — отсюда старое правило «брать z при n ≥ 30».
Почему в методе t ширина интервала каждый раз другая, а в методе z все отрезки одной длины?: В методе z полуширина z*·σ/√n использует только известные постоянные, поэтому у всех интервалов одна длина и двигается лишь центр x̄. В методе t полуширина t*·s/√n использует выборочное стандартное отклонение s, которое заново считается по каждой выборке; s колеблется вокруг σ, сильно при малом n и слабо при большом, поэтому отрезки разной длины. Средняя ширина в панели поэтому чуть отличается от t*·σ/√n, потому что математическое ожидание s немного меньше σ (множитель c₄ равен 0,940 при n = 5 и 0,987 при n = 20).

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 10 в «Статистика и вероятность».

Вся категория →

НовоеШкольные

Что такое p-значение

Запустить симулятор

Статистика критерия на плотности при нулевой гипотезе; закрашенный одно- или двусторонний хвост — это p-значение. Почему это не вероятность того, что H₀ верна.

НовоеПопулярноеДети

Центральная предельная теорема

Запустить симулятор

Выберите исходное распределение (равномерное, экспоненциальное, биномиальное, кость), берите выборки объёма n = 1, 5, 30; гистограмма средних становится нормальной, а разброс убывает как σ/√n.

НовоеДети