Warum ist der Balken für k = 5 bei 10 Münzwürfen der höchste, aber trotzdem nur etwa 25 %?

Bei n = 10 und p = 0,5 ist das Mittel np = 5, fünfmal Kopf ist also die einzelne wahrscheinlichste Anzahl. Es gibt C(10, 5) = 252 Folgen mit genau fünfmal Kopf unter 2¹⁰ = 1024 gleich wahrscheinlichen Folgen, also P(K = 5) = 252/1024 ≈ 0,246. Die übrigen drei Viertel der Wahrscheinlichkeit verteilen sich auf die anderen Anzahlen: 4 oder 6 Kopf haben je etwa 0,205, 3 oder 7 etwa 0,117, und so weiter. „Am wahrscheinlichsten“ heißt also nicht „wahrscheinlich“; die Wahrscheinlichkeit, innerhalb einer Standardabweichung (√2,5 ≈ 1,58) um das Mittel zu liegen, also 4 ≤ K ≤ 6, beträgt etwa 0,66.

Was tut die Stetigkeitskorrektur, und warum braucht man sie?

Die binomialverteilte Größe nimmt nur ganze Zahlen an, eine normalverteilte Größe jeden reellen Wert. Um P(K ≤ k) mit der Normalkurve zu nähern, steht jede ganze Zahl k für das Intervall von k − ½ bis k + ½, das Ereignis K ≤ k entspricht also der Fläche unter der Kurve bis k + ½, nicht bis k. Ohne die Hälfte verfehlt die Näherung systematisch einen halben Balken. Für P(K = k) ist der korrigierte Wert die Fläche zwischen k − ½ und k + ½, nahe an der Höhe des Balkens; mit der Korrektur liegt der Fehler für n = 20, p = 0,5 bei k = 10 unter 0,001, ohne sie gibt die Normalverteilung P(K ≤ 10) ≈ 0,500 statt der exakten 0,588, ein Fehler von fast einem halben Balken.

Wann ist die Poisson-Näherung gut, und wann sollte man sie nicht nutzen?

Die Poisson-Verteilung mit Mittel λ = np ist der Grenzwert der Binomialverteilung, wenn n wächst und p schrumpft, während np fest bleibt. Sie ist genau, wenn p klein ist, grob p ≤ 0,05, und n groß genug, dass np mäßig bleibt; für n = 100, p = 0,03 stimmen die beiden Verteilungen bei jedem k bis auf etwa 0,004 überein. Nahe p = 0,5 ist sie eine schlechte Näherung: die Poisson-Verteilung hat die Varianz λ = np, die Binomialverteilung die Varianz np(1 − p), bei p = 0,5 nur halb so groß, die Poisson-Stäbe sind also sichtbar zu breit. Dort ist die Normalnäherung das richtige Werkzeug.

Nach 1000 Experimenten decken sich die rosa Umrisse immer noch nicht genau mit den cyan Balken. Ist etwas falsch?

Nein. Jeder rosa Balken ist eine relative Häufigkeit, eine Stichprobenschätzung der zugehörigen exakten Wahrscheinlichkeit, und sie schwankt von Lauf zu Lauf. Ein Balken mit wahrer Wahrscheinlichkeit q hat über N Experimente den Standardfehler √(q(1 − q)/N); für q = 0,25 und N = 1000 sind das etwa 0,014, Abweichungen von einem oder zwei Hundertsteln sind also zu erwarten. Mit wachsendem N schrumpft der Standardfehler wie 1/√N: zehntausend Experimente verkleinern ihn um etwa den Faktor drei, nicht um zehn. Derselbe Effekt zeigt sich beim empirischen Mittel, das sich np nähert, aber nicht genau np ist.

Binomialverteilung

Balken P(K = k) für n Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p; Mittel np, Varianz np(1−p); Voreinstellungen Münze und seltenes Ereignis; Normalüberlagerung bei großem n.

Binomialverteilung

Zahl der Versuche n10

Erfolgswahrscheinlichkeit p0.5

Hervorheben

Gewähltes k5

Normalnäherung N(np, np(1−p))Poisson-Näherung Pois(np)

Jedes Experiment besteht aus n unabhängigen Versuchen mit derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p; die Zahl der Erfolge K ist binomialverteilt. Die cyan Balken sind die exakte Wahrscheinlichkeitsfunktion, berechnet über ln Γ; die rosa Umrisse sind die relativen Häufigkeiten der eigenen Experimente. Ändert man n oder p, wird das empirische Histogramm geleert. Die Normalanzeige nutzt die Stetigkeitskorrektur (k ± ½); Poisson(np) ist nur dann eine gute Näherung, wenn p klein und n groß ist.

Tastenkürzel

Space / Enter — 1 Experiment ausführen
R — empirisches Histogramm zurücksetzen
Marke im Diagramm ziehen, um k zu verschieben

Gemessene Größen

Versuche n10

Erfolgswahrscheinlichkeit p0.50

Mittel np5.00

Varianz np(1−p)2.500

Standardabweichung1.581

P(K = 5) (exakt)0.24609

Normalnäherung (Stetigkeitskorr.)0.24817

|exakt − normal|0.00208

Experimente0

Empirisches Mittel von K—

Letztes Experiment: Erfolge—

Zum Modell

Der Simulator modelliert eine feste Zahl n unabhängiger Versuche, von denen jeder mit derselben Wahrscheinlichkeit p gelingt, und zählt die Zahl der Erfolge K. Unter diesen beiden Annahmen (Unabhängigkeit und konstantes p) hat K die Binomialverteilung: P(K = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^(n − k) für k = 0, 1, …, n, wobei C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) die Zahl der Reihenfolgen ist, in denen genau k der n Versuche gelingen. Das Mittel ist E[K] = np und die Varianz Var K = np(1 − p); die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Die cyan Balken sind diese exakte Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie wird über den Logarithmus der Gammafunktion berechnet (eine Lanczos-Näherung von ln Γ), die Balken stimmen also auch für n = 200, wo n! selbst den Zahlenbereich sprengen würde; die kumulierten Wahrscheinlichkeiten P(K ≤ k) und P(K ≥ k) sind Summen dieser Terme in doppelter Genauigkeit, der obere Schwanz wird vom äußeren Ende her summiert, damit keine Auslöschung auftritt. Die gelbe Kurve ist die Normaldichte mit demselben Mittel und derselben Varianz, N(np, np(1 − p)). Weil die Binomialverteilung diskret und die Normalverteilung stetig ist, liest man die Normalnäherung einer Wahrscheinlichkeit mit der Stetigkeitskorrektur: P(K ≤ k) ≈ Φ((k + ½ − np)/σ), P(K = k) ≈ Φ((k + ½ − np)/σ) − Φ((k − ½ − np)/σ), wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist, aus einer erfc-Näherung berechnet, genau bis etwa 1e-16. Die Anzeige zeigt den exakten Wert, den Normalwert und ihren absoluten Unterschied, der klein ist, wenn np(1 − p) groß ist (eine gängige Faustregel ist np ≥ 10 und n(1 − p) ≥ 10). Die grünen Stäbe sind die Poisson-Verteilung mit demselben Mittel, Pois(np); sie nähert die Binomialverteilung gut, wenn n groß und p klein ist, wie in der Voreinstellung seltenes Ereignis (n = 100, p = 0,03), und sonst schlecht. Die empirische Schicht wirft n Münzen mit einem Pseudozufallsgenerator mit Startwert; die Zahl der Köpfe ist eine Stichprobe von K und wird zum rosa umrandeten Histogramm der relativen Häufigkeiten addiert, das mit wachsender Zahl der Experimente gegen die cyan Balken geht. Vereinfachungen: die Versuche sind exakt unabhängig mit konstantem p; Ziehen ohne Zurücklegen (der hypergeometrische Fall) wird nicht modelliert, und die Münzen veranschaulichen nur einen allgemeinen Bernoulli-Versuch. Verwandte Simulatoren auf der Seite: statistics/galton-board, das dieselbe Verteilung mechanisch aus Sprüngen nach links und rechts aufbaut; statistics/normal-distribution für die Grenzkurve; statistics/law-of-large-numbers dafür, warum sich das empirische Mittel bei np einpendelt; und statistics/p-value, wo binomiale Flankenwahrscheinlichkeiten als exakte p-Werte eines Tests auftreten.

Für wen: Oberstufe (Klassen 10–12) im Stochastikunterricht und einführende Hochschulstatistik; ohne Analysis.

Wichtige Begriffe

bernoulli-versuch
binomialkoeffizient C(n, k)
wahrscheinlichkeitsfunktion
kumulierte wahrscheinlichkeit
erwartungswert np
varianz np(1 − p)
stetigkeitskorrektur
poisson-näherung

So funktioniert es

Wiederhole denselben Bernoulli-Versuch n-mal, unabhängig und mit derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p; die Zahl der Erfolge K folgt der Binomialverteilung mit P(K = k) = C(n, k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Ihr Mittel ist np, ihre Varianz np(1−p), die Balken sind also nahe np am höchsten und ihre relative Streuung schrumpft wie 1/√n. Bei großem n folgen die Balken einer Normalkurve N(np, np(1−p)); die Stetigkeitskorrektur ersetzt das diskrete k durch das Intervall [k−½, k+½], wenn man die Normalnäherung abliest. Ist p klein und n groß, liegt K nahe bei Poisson(np). Die geworfenen Münzen zeigen ein Experiment; die rosa Umrisse sammeln viele Experimente und nähern sich den exakten Balken.

Wichtige Gleichungen

P(K = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0 … n

E[K] = np, Var K = np(1 − p), SD = √(np(1 − p))

P(K ≤ k) ≈ Φ((k + ½ − np) / √(np(1 − p))) (Stetigkeitskorrektur)

p klein, n groß: P(K = k) ≈ e^(−np) (np)ᵏ / k!

Häufige Fragen

Warum ist der Balken für k = 5 bei 10 Münzwürfen der höchste, aber trotzdem nur etwa 25 %?: Bei n = 10 und p = 0,5 ist das Mittel np = 5, fünfmal Kopf ist also die einzelne wahrscheinlichste Anzahl. Es gibt C(10, 5) = 252 Folgen mit genau fünfmal Kopf unter 2¹⁰ = 1024 gleich wahrscheinlichen Folgen, also P(K = 5) = 252/1024 ≈ 0,246. Die übrigen drei Viertel der Wahrscheinlichkeit verteilen sich auf die anderen Anzahlen: 4 oder 6 Kopf haben je etwa 0,205, 3 oder 7 etwa 0,117, und so weiter. „Am wahrscheinlichsten“ heißt also nicht „wahrscheinlich“; die Wahrscheinlichkeit, innerhalb einer Standardabweichung (√2,5 ≈ 1,58) um das Mittel zu liegen, also 4 ≤ K ≤ 6, beträgt etwa 0,66.
Was tut die Stetigkeitskorrektur, und warum braucht man sie?: Die binomialverteilte Größe nimmt nur ganze Zahlen an, eine normalverteilte Größe jeden reellen Wert. Um P(K ≤ k) mit der Normalkurve zu nähern, steht jede ganze Zahl k für das Intervall von k − ½ bis k + ½, das Ereignis K ≤ k entspricht also der Fläche unter der Kurve bis k + ½, nicht bis k. Ohne die Hälfte verfehlt die Näherung systematisch einen halben Balken. Für P(K = k) ist der korrigierte Wert die Fläche zwischen k − ½ und k + ½, nahe an der Höhe des Balkens; mit der Korrektur liegt der Fehler für n = 20, p = 0,5 bei k = 10 unter 0,001, ohne sie gibt die Normalverteilung P(K ≤ 10) ≈ 0,500 statt der exakten 0,588, ein Fehler von fast einem halben Balken.
Wann ist die Poisson-Näherung gut, und wann sollte man sie nicht nutzen?: Die Poisson-Verteilung mit Mittel λ = np ist der Grenzwert der Binomialverteilung, wenn n wächst und p schrumpft, während np fest bleibt. Sie ist genau, wenn p klein ist, grob p ≤ 0,05, und n groß genug, dass np mäßig bleibt; für n = 100, p = 0,03 stimmen die beiden Verteilungen bei jedem k bis auf etwa 0,004 überein. Nahe p = 0,5 ist sie eine schlechte Näherung: die Poisson-Verteilung hat die Varianz λ = np, die Binomialverteilung die Varianz np(1 − p), bei p = 0,5 nur halb so groß, die Poisson-Stäbe sind also sichtbar zu breit. Dort ist die Normalnäherung das richtige Werkzeug.
Nach 1000 Experimenten decken sich die rosa Umrisse immer noch nicht genau mit den cyan Balken. Ist etwas falsch?: Nein. Jeder rosa Balken ist eine relative Häufigkeit, eine Stichprobenschätzung der zugehörigen exakten Wahrscheinlichkeit, und sie schwankt von Lauf zu Lauf. Ein Balken mit wahrer Wahrscheinlichkeit q hat über N Experimente den Standardfehler √(q(1 − q)/N); für q = 0,25 und N = 1000 sind das etwa 0,014, Abweichungen von einem oder zwei Hundertsteln sind also zu erwarten. Mit wachsendem N schrumpft der Standardfehler wie 1/√N: zehntausend Experimente verkleinern ihn um etwa den Faktor drei, nicht um zehn. Derselbe Effekt zeigt sich beim empirischen Mittel, das sich np nähert, aber nicht genau np ist.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 10 in „Statistik und Wahrscheinlichkeit“.

Ganze Kategorie →

NeuKinder

Gesetz der großen Zahlen

Simulation starten

Münze oder Würfel: das laufende Mittel x̄ₙ mehrerer Läufe geht gegen μ; die Hülle ±σ/√n zeigt, wie langsam.

NeuBeliebtKinder

Galtonbrett (Bohnenmaschine)

Simulation starten

Kugeln springen links oder rechts durch Nagelreihen; die Fächer füllen eine Binomialverteilung, die zur Glockenkurve wird. Wenige Reihen gegen viele Reihen.

NeuBeliebtKinder

Zentraler Grenzwertsatz

Simulation starten

Ausgangsverteilung wählen (gleichverteilt, exponentiell, binomial, Würfel), Stichproben der Größe n = 1, 5, 30 ziehen; das Histogramm der Mittel wird normal, die Streuung schrumpft wie σ/√n.

NeuKinder