Почему балл IQ 115 имеет тот же процентиль, что и балл SAT 1250?

Оба ровно на одно стандартное отклонение выше своего среднего: (115 − 100)/15 = 1 и (1250 − 1050)/200 = 1. z-оценка снимает единицы и масштаб и оставляет лишь, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от центра. У всех нормальных распределений одна и та же форма в единицах z, поэтому одна таблица Φ(z) отвечает на вопросы про все них. Φ(1) = 0,8413, так что оба балла стоят на 84,13-м процентиле.

Если 95 % значений лежат в пределах ±2σ, почему двусторонний интервал 95 % берёт z = 1,96, а не 2?

Значение ±2σ — округлённый ориентир: точная вероятность внутри ±2σ равна 95,45 %, а не 95 %. Решение Φ(z) = 0,975 через обратное нормальное даёт z = 1,95996…, поэтому центральные 95 % лежат между −1,96σ и +1,96σ, и в каждом хвосте ровно 2,5 %. Точно так же точный интервал 99 % берёт 2,576, а не 3; в пределах ±3σ лежит 99,73 %. Правило 68–95–99.7 — для устного счёта, а обратное нормальное даёт точные границы.

Почему вероятность того, что X равно конкретному значению, например ровно 100, равна нулю?

У непрерывной величины вероятность — это площадь под кривой плотности, а у одной точки нулевая ширина и потому нулевая площадь. P(X = 100) = 0, хотя 100 — самая вероятная область в том смысле, что плотность там наибольшая. Имеют смысл вопросы про промежутки: P(99,5 < X < 100,5) ≈ 0,0266 для баллов IQ. Поэтому же P(X < x) и P(X ≤ x) для нормальной величины — одно и то же число, и площади левого хвоста, правого хвоста и промежутка в сумме всегда дают 1.

Когда я бросаю 200 точек, почему внутри ±1σ не получается ровно 136 (68,27 % от 200)?

Каждая точка попадает внутрь ±1σ независимо с вероятностью 0,6827, поэтому число — биномиальная случайная величина со средним 136,5 и стандартным отклонением √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Поэтому числа примерно от 123 до 150 — обычные исходы, а наблюдаемая доля разбрасывается примерно на ±3 процентных пункта вокруг 68,3 %. Правило описывает предел очень большой выборки, а не одну выборку; при n = 20 000 разброс сжался бы примерно до ±0,3 пункта. Это закон больших чисел в действии.

Нормальное распределение и z-оценки

Q: Когда я бросаю 200 точек, почему внутри ±1σ не получается ровно 136 (68,27 % от 200)?

Каждая точка попадает внутрь ±1σ независимо с вероятностью 0,6827, поэтому число — биномиальная случайная величина со средним 136,5 и стандартным отклонением √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Поэтому числа примерно от 123 до 150 — обычные исходы, а наблюдаемая доля разбрасывается примерно на ±3 процентных пункта вокруг 68,3 %. Правило описывает предел очень большой выборки, а не одну выборку; при n = 20 000 разброс сжался бы примерно до ±0,3 пункта. Это закон больших чисел в действии.

Колоколообразная кривая с μ и σ; закрашенные хвосты, правило 68–95–99.7 и встроенный перевод в z-оценку x → z = (x − μ)/σ.

Колокол N(μ, σ²)

Среднее μ100

Стандартное отклонение σ15

Закрашенная область

Показать полосы 68–95–99.7

Перевод в z-оценку

x (исходное значение)Процентиль (%)

x, процентиль и розовый маркер — одно и то же значение: измените любое, и остальные подстроятся.

Φ(z) считается через функцию ошибок рациональным приближением Коди (относительная погрешность ниже 10⁻¹⁵), обратная — алгоритмом Аклама плюс один шаг уточнения Галлея. 200 брошенных точек — точные наблюдения из N(μ, σ²) (Бокс–Мюллер), они хранятся как z-оценки и сдвигаются вместе с кривой, когда меняются μ или σ. Окно всегда показывает μ ± 4σ.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — бросить 200 точек
R — сброс
Потяните розовый маркер на холсте, чтобы сдвинуть x (и b)

Измеренные величины

Среднее μ100.0

Стандартное отклонение σ15.0

x115.0

z = (x − μ)/σ1.000

Закрашенная вероятность P(X < x)0.84134

Процентиль x = 100·Φ(z)84.13%

О модели

Симулятор рисует плотность нормальной (гауссовой) случайной величины X ~ N(μ, σ²), f(x) = exp(−(x − μ)²/(2σ²)) / (σ√(2π)), в окне μ ± 4σ. Среднее μ задаёт положение вершины, стандартное отклонение σ — ширину; площадь под всей кривой равна 1, поэтому любая закрашенная часть — вероятность. Под осью исходного x вторая ось показывает те же положения в виде z-оценок, z = (x − μ)/σ, и они переводят любое нормальное распределение в стандартное нормальное N(0, 1). Все вероятности считаются по функции распределения стандартного нормального Φ(z) = ½·erfc(−z/√2); её считают рациональным чебышёвским приближением У. Дж. Коди для дополнительной функции ошибок (относительная погрешность ниже 10⁻¹⁵ — намного меньше тех 10⁻⁷, что нужны, чтобы совпасть с печатными z-таблицами в каждом знаке). Доступны четыре режима закраски: левый хвост P(X < x) = Φ(z); правый хвост P(X > x) = 1 − Φ(z); двусторонняя вероятность P(|Z| > |z|) = 2(1 − Φ(|z|)) — величина для двусторонних критериев и доверительных интервалов; и промежуток P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). Маркер на холсте, поле x и поле процентиля — одно и то же состояние, поэтому перевод работает в обе стороны: x → z → процентиль 100·Φ(z) и процентиль → z → x = μ + zσ. Обратная Φ⁻¹ берёт рациональное приближение П. Дж. Аклама, затем один шаг уточнения Галлея с точной Φ, что доводит её до полной двойной точности (Φ⁻¹(0,975) = 1,959964…). Полосы 68–95–99.7 закрашивают ±1σ, ±2σ и ±3σ и подписывают каждый срез его точной долей (34,1 %, 13,6 %, 2,1 %, 0,1 %); точные суммы — 68,27 %, 95,45 % и 99,73 %. Кнопка «Бросить 200 точек» рисует 200 независимых значений из N(μ, σ²) преобразованием Бокса–Мюллера на генераторе с зерном и показывает их цветной точечной диаграммой над осью; показания считают, сколько попало внутрь ±1σ, ±2σ и ±3σ, чтобы сверить правило с конечной выборкой, которая разбрасывается вокруг теоретических долей примерно на ±3 процентных пункта при n = 200. Упрощения: модель — идеальное непрерывное нормальное без усечения, округления и дискретности, поэтому реальные баллы IQ или SAT, целые на ограниченной шкале, следуют ему лишь приближённо; точки выборки при каждом броске заменяются, а не копятся. Сопутствующие симуляторы на этом сайте: statistics/galton-board и statistics/binomial-distribution (как колокол возникает из многих малых случайных шагов), statistics/law-of-large-numbers, statistics/confidence-interval и statistics/p-value (там используются двусторонние и односторонние площади, которые здесь закрашены), и statistics/type-i-ii-errors-power.

Для кого: Старшая школа и первый курс университетской статистики (AP Statistics, A-level, вводная теория вероятностей).

Ключевые понятия

нормальное распределение
среднее μ и стандартное отклонение σ
z-оценка
стандартное нормальное Φ(z)
процентиль
правило 68–95–99.7
вероятность хвоста
обратное нормальное (квантиль)

Как это работает

Нормальное распределение N(μ, σ²) — колоколообразная плотность f(x) = exp(−(x − μ)²/2σ²)/(σ√(2π)); μ задаёт центр, σ — ширину. Любая нормальная величина переходит в стандартную нормальную через z-оценку z = (x − μ)/σ, поэтому одна таблица Φ(z) годится и для баллов IQ, и для роста, и для результатов SAT. Закрашенная площадь под кривой — вероятность: левый хвост P(X < x) = Φ(z), правый хвост 1 − Φ(z), двустороннее P(|Z| > z) = 2(1 − Φ(|z|)) и P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). Правило 68–95–99.7 говорит, что 68,27 %, 95,45 % и 99,73 % вероятности лежат в пределах ±1σ, ±2σ и ±3σ; бросок 200 случайных точек показывает, насколько близко реальная выборка ему следует. Сама кривая не кончается, поэтому ни у какого промежутка вероятность не равна ровно 1 — конечна только выборка.

Основные формулы

f(x) = 1/(σ√(2π)) · exp(−(x − μ)² / (2σ²))

z = (x − μ) / σ ⇔ x = μ + zσ

P(X < x) = Φ(z) = ½ · erfc(−z/√2) · P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)

P(|Z| ≤ 1) = 0,6827 P(|Z| ≤ 2) = 0,9545 P(|Z| ≤ 3) = 0,9973

процентиль p → z = Φ⁻¹(p/100), напр. Φ⁻¹(0,975) = 1,95996

Часто задаваемые вопросы

Почему балл IQ 115 имеет тот же процентиль, что и балл SAT 1250?: Оба ровно на одно стандартное отклонение выше своего среднего: (115 − 100)/15 = 1 и (1250 − 1050)/200 = 1. z-оценка снимает единицы и масштаб и оставляет лишь, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от центра. У всех нормальных распределений одна и та же форма в единицах z, поэтому одна таблица Φ(z) отвечает на вопросы про все них. Φ(1) = 0,8413, так что оба балла стоят на 84,13-м процентиле.
Если 95 % значений лежат в пределах ±2σ, почему двусторонний интервал 95 % берёт z = 1,96, а не 2?: Значение ±2σ — округлённый ориентир: точная вероятность внутри ±2σ равна 95,45 %, а не 95 %. Решение Φ(z) = 0,975 через обратное нормальное даёт z = 1,95996…, поэтому центральные 95 % лежат между −1,96σ и +1,96σ, и в каждом хвосте ровно 2,5 %. Точно так же точный интервал 99 % берёт 2,576, а не 3; в пределах ±3σ лежит 99,73 %. Правило 68–95–99.7 — для устного счёта, а обратное нормальное даёт точные границы.
Почему вероятность того, что X равно конкретному значению, например ровно 100, равна нулю?: У непрерывной величины вероятность — это площадь под кривой плотности, а у одной точки нулевая ширина и потому нулевая площадь. P(X = 100) = 0, хотя 100 — самая вероятная область в том смысле, что плотность там наибольшая. Имеют смысл вопросы про промежутки: P(99,5 < X < 100,5) ≈ 0,0266 для баллов IQ. Поэтому же P(X < x) и P(X ≤ x) для нормальной величины — одно и то же число, и площади левого хвоста, правого хвоста и промежутка в сумме всегда дают 1.
Когда я бросаю 200 точек, почему внутри ±1σ не получается ровно 136 (68,27 % от 200)?: Каждая точка попадает внутрь ±1σ независимо с вероятностью 0,6827, поэтому число — биномиальная случайная величина со средним 136,5 и стандартным отклонением √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Поэтому числа примерно от 123 до 150 — обычные исходы, а наблюдаемая доля разбрасывается примерно на ±3 процентных пункта вокруг 68,3 %. Правило описывает предел очень большой выборки, а не одну выборку; при n = 20 000 разброс сжался бы примерно до ±0,3 пункта. Это закон больших чисел в действии.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 10 в «Статистика и вероятность».

Вся категория →

НовоеПопулярноеДети

Доска Гальтона (ящик с шариками)

Запустить симулятор

Шарики отскакивают влево/вправо сквозь ряды штырьков; ячейки заполняют биномиальное, которое переходит в колокол. Мало рядов и много рядов.

НовоеДети

Корреляция Пирсона

Запустить симулятор

Облако точек с настраиваемым r, эллипс ковариации и заготовка параболы, где r ≈ 0 при идеальной связи.

НовоеШкольные

Что такое p-значение

Запустить симулятор

Статистика критерия на плотности при нулевой гипотезе; закрашенный одно- или двусторонний хвост — это p-значение. Почему это не вероятность того, что H₀ верна.

НовоеПопулярноеДети

Центральная предельная теорема

Запустить симулятор

Выберите исходное распределение (равномерное, экспоненциальное, биномиальное, кость), берите выборки объёма n = 1, 5, 30; гистограмма средних становится нормальной, а разброс убывает как σ/√n.

НовоеДети

Закон больших чисел

Запустить симулятор

Монета или кость: текущее среднее x̄ₙ нескольких прогонов сходится к μ; полоса ±σ/√n показывает, как медленно.

НовоеДети

Биномиальное распределение

Запустить симулятор

Столбцы P(K = k) для n испытаний с успехом p; среднее np, дисперсия np(1−p); заготовки «монета» и «редкое событие»; нормальная кривая при большом n.

Нормальное распределение и z-оценки

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Доска Гальтона (ящик с шариками)

Корреляция Пирсона

Что такое p-значение

Центральная предельная теорема

Закон больших чисел

Биномиальное распределение

Нормальное распределение и z-оценки

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы