- ¿Por qué la barra de k = 5 es la más alta en 10 lanzamientos de una moneda, pero aun así solo llega a un 25 %?
- Con n = 10 y p = 0,5 la media es np = 5, así que 5 caras es el único recuento más probable. Hay C(10, 5) = 252 sucesiones con exactamente cinco caras entre 2¹⁰ = 1024 sucesiones igual de probables, lo que da P(K = 5) = 252/1024 ≈ 0,246. Los otros tres cuartos de la probabilidad se reparten entre los demás recuentos: 4 o 6 caras tienen cada uno unos 0,205, 3 o 7 unos 0,117, y así sucesivamente. «Más probable», por tanto, no significa «probable»; la probabilidad de caer a menos de una desviación estándar (√2,5 ≈ 1,58) de la media, esto es 4 ≤ K ≤ 6, es de unos 0,66.
- ¿Qué hace la corrección de continuidad y por qué hace falta?
- La variable binomial solo toma números enteros, mientras que una variable normal toma cualquier valor real. Para aproximar P(K ≤ k) con la curva normal, cada entero k se representa por el intervalo de k − ½ a k + ½, así que el suceso completo K ≤ k corresponde al área bajo la curva hasta k + ½, no hasta k. Sin esa mitad, la aproximación deja fuera media barra de forma sistemática. Para P(K = k) el valor corregido es el área entre k − ½ y k + ½, cercana a la altura de la barra; con la corrección el error para n = 20, p = 0,5 queda por debajo de 0,001 en k = 10, mientras que sin ella la normal da P(K ≤ 10) ≈ 0,500 en vez del exacto 0,588, un error de casi media barra.
- ¿Cuándo es buena la aproximación de Poisson y cuándo no conviene usarla?
- La distribución de Poisson de media λ = np es el límite de la binomial cuando n crece y p se reduce con np fijo. Es precisa cuando p es pequeño, más o menos p ≤ 0,05, y n es lo bastante grande como para que np sea moderado; con n = 100, p = 0,03 las dos distribuciones coinciden hasta unos 0,004 en cada k. Cerca de p = 0,5 es una mala aproximación: la Poisson tiene varianza λ = np, mientras que la binomial tiene varianza np(1 − p), que en p = 0,5 es solo la mitad, así que las marcas de Poisson se ven demasiado anchas. Ahí la herramienta adecuada es la aproximación normal.
- Tras 1000 experimentos los contornos rosa todavía no coinciden exactamente con las barras cian. ¿Hay algo mal?
- No. Cada barra rosa es una frecuencia relativa, una estimación muestral de la probabilidad exacta correspondiente, y fluctúa de una corrida a otra. Una barra cuya probabilidad verdadera es q tiene error estándar √(q(1 − q)/N) en N experimentos; para q = 0,25 y N = 1000 eso es unos 0,014, así que se esperan desviaciones de una o dos centésimas. Al crecer N el error estándar se reduce como 1/√N: diez mil experimentos lo reducen por un factor de unos tres, no de diez. El mismo efecto aparece en la media empírica, que se acerca a np pero no es exactamente np.