Почему для некоторых матриц нет стрелок?

Стрелки рисуются только при вещественных собственных значениях. Если корни характеристического многочлена комплексные, на вещественной плоскости нет инвариантных прямых: отображение крутит и растягивает, но не оставляет вещественного собственного направления.

Почему две стрелки лежат на одной прямой, но смотрят в разные стороны?

Собственный вектор задаёт прямую, а не одну стрелку. При λ > 0 векторы на этой прямой сохраняют ориентацию; при λ < 0 — отражаются. Обе стрелки изображают одно и то же собственное направление.

Может ли матрица 2×2 иметь больше двух собственных направлений?

Линейно независимых собственных векторов не больше двух. Особый случай — скалярное кратное единичной матрицы, например [[2, 0], [0, 2]]: тогда каждый ненулевой вектор собственный, и отображение — равномерное растяжение.

Как это связано со следом и определителем?

Характеристическое уравнение λ² − (tr M)λ + det M = 0. Знак дискриминанта (tr M)² − 4 det M решает, вещественны ли λ. Эти же инварианты читаются с ползунков a, b, c, d.

Матрица 2×2 и собственные векторы

Q: Может ли матрица 2×2 иметь больше двух собственных направлений?

Линейно независимых собственных векторов не больше двух. Особый случай — скалярное кратное единичной матрицы, например [[2, 0], [0, 2]]: тогда каждый ненулевой вектор собственный, и отображение — равномерное растяжение.

Q: Как это связано со следом и определителем?

Характеристическое уравнение λ² − (tr M)λ + det M = 0. Знак дискриминанта (tr M)² − 4 det M решает, вещественны ли λ. Эти же инварианты читаются с ползунков a, b, c, d.

Линейное отображение плоскости матрицей M: квадратная сетка переходит в решётку параллелограммов. При вещественных λ — стрелки вдоль инвариантных направлений.

О модели

Матрица 2×2 задаёт линейное отображение плоскости: v′ = Mv. Квадратная координатная сетка переходит в решётку параллелограммов — растяжение, сдвиг, сжатие или поворот. Собственный вектор x — ненулевой вектор, направление которого не меняется: Mx = λx. Собственное число λ говорит, растягивается ли вектор (|λ| > 1), сжимается (|λ| < 1), меняет ориентацию (λ < 0) или сохраняет длину (|λ| = 1). На правой панели при вещественных λ рисуются стрелки вдоль собственных направлений, длина связана с |λ|. Комплексные собственные значения соответствуют вращению без инвариантных прямых на вещественной плоскости — стрелок тогда нет, сетка всё равно деформируется. След, определитель и характеристическое уравнение det(M − λI) = 0 определяют, есть ли вещественная пара направлений.

Для кого: Линейная алгебра: линейные отображения, собственные векторы, характеристическое уравнение.

Ключевые понятия

линейное отображение
собственный вектор
собственное число
умножение матрицы на вектор
определитель
характеристическое уравнение
инвариантное направление
диагонализация

Как это работает

Отображение (x, y) ↦ (ax + by, cx + dy) переводит квадратную сетку в решётку параллелограммов. При вещественных λ собственные векторы лежат на направлениях, которые только масштабируются: на правой панели две стрелки из начала, если дискриминант ≥ 0. Комплексные λ означают, что в ℝ² нет пары вещественных собственных прямых.

Основные формулы

det(M − λI) = 0 · tr = a+d · det = ad − bc

Часто задаваемые вопросы

Почему для некоторых матриц нет стрелок?: Стрелки рисуются только при вещественных собственных значениях. Если корни характеристического многочлена комплексные, на вещественной плоскости нет инвариантных прямых: отображение крутит и растягивает, но не оставляет вещественного собственного направления.
Почему две стрелки лежат на одной прямой, но смотрят в разные стороны?: Собственный вектор задаёт прямую, а не одну стрелку. При λ > 0 векторы на этой прямой сохраняют ориентацию; при λ < 0 — отражаются. Обе стрелки изображают одно и то же собственное направление.
Может ли матрица 2×2 иметь больше двух собственных направлений?: Линейно независимых собственных векторов не больше двух. Особый случай — скалярное кратное единичной матрицы, например [[2, 0], [0, 2]]: тогда каждый ненулевой вектор собственный, и отображение — равномерное растяжение.
Как это связано со следом и определителем?: Характеристическое уравнение λ² − (tr M)λ + det M = 0. Знак дискриминанта (tr M)² − 4 det M решает, вещественны ли λ. Эти же инварианты читаются с ползунков a, b, c, d.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеШкольные

PCA в 2D: главные компоненты

Запустить симулятор

Облако на плоскости: ковариация 2×2, собственные векторы PC1 и PC2 от среднего, перпендикуляры к прямой PC1 и полоска счетов на первой компоненте.

НовоеУниверситет / научные

Степенной метод: сходимость собственного значения

Запустить симулятор

Сходимость к доминирующему собственному вектору: отношение спектральной щели, частное Рэлея, невязка и нормированные итерации.

НовоеШкольные

Метод наименьших квадратов

Запустить симулятор

Зашумлённые точки и прямая y = ax + b, которая минимизирует сумму квадратов вертикальных остатков. Меняйте наклон, сдвиг и шум — видны остатки и сумма квадратов ошибок.

НовоеШкольные

Цепь Маркова (погода)

Запустить симулятор

Цепь с двумя состояниями «солнце / дождь»: матрица переходов P, стационарное распределение π, эмпирическая доля и теория.

НовоеУниверситет / научные

Диаграмма Минковского

Запустить симулятор

Плоскость (x, ct): световой конус x = ±ct и наклонные оси движущейся системы; γ = 1/√(1 − v²/c²).

НовоеУниверситет / научные

Свёртка прямоугольных импульсов

Запустить симулятор

Два прямоугольных импульса единичной высоты: свёртка (f∗g)(τ) равна площади перекрытия при сдвиге τ. При τ = 0 на экране — длина пересечения.

Матрица 2×2 и собственные векторы

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

PCA в 2D: главные компоненты

Степенной метод: сходимость собственного значения

Метод наименьших квадратов

Цепь Маркова (погода)

Диаграмма Минковского

Свёртка прямоугольных импульсов

Матрица 2×2 и собственные векторы

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы