Qu’est-ce qui fixe la vitesse de convergence de l’itération en puissance ?

Pour une matrice diagonalisable à valeur propre dominante unique, l’erreur de direction décroît en général comme |λ₂/λ₁|ᵏ. Plus l’écart spectral est grand, plus ce rapport est petit et plus la convergence est rapide.

À quoi sert le quotient de Rayleigh ?

Quand le vecteur est proche d’un vecteur propre, ρ = xᵀ A x / xᵀ x donne une estimation naturelle de la valeur propre. Le résidu ‖Ax − ρx‖ vérifie ensuite si la paire est vraiment proche d’une paire propre.

Que se passe-t-il si deux valeurs propres ont presque le même module ?

L’écart est petit, le rapport |λ₂/λ₁| est proche de un, et les itérations oscillent longtemps entre les directions. Sur le graphe, on voit un rapprochement lent du cercle du vecteur dominant.

Itération en puissance : convergence de la valeur propre

Convergence vers le vecteur propre dominant : rapport d’écart spectral, quotient de Rayleigh, résidu et itérations normées.

La démonstration utilise une matrice symétrique 2D, donc les vrais vecteurs propres sont visibles. Quand le rapport spectral est proche de un, la convergence ralentit ; si le vecteur initial est presque orthogonal au vecteur propre dominant, la composante utile est d’abord très petite.

Graphiques

À propos du modèle

L’itération en puissance extrait la direction propre dominante en multipliant un vecteur par la matrice A, puis en le normant. Si |λ₁| > |λ₂| et si la projection du vecteur initial n’est pas nulle, la direction tend vers le vecteur propre associé à λ₁. Sur le cercle unité, on voit les itérations normées et les axes propres d’une matrice symétrique bidimensionnelle. Le quotient de Rayleigh ρ = xᵀ A x / xᵀ x estime la valeur propre ; le résidu ‖Ax − ρx‖ mesure la proximité de la paire propre. Le rapport |λ₂/λ₁| explique pourquoi la convergence est parfois rapide, parfois très lente. On fait varier λ₁, λ₂, la rotation des axes et l’angle initial.

Public : Algèbre linéaire numérique, calcul scientifique : valeurs propres et itération en puissance.

Notions clés

itération en puissance
vecteur propre dominant
quotient de Rayleigh
écart spectral
résidu de la paire propre
vitesse de convergence

Comment ça marche

L’itération en puissance répète x_{k+1}=Ax_k/||Ax_k||. S’il existe une unique valeur propre de plus grand module et si le vecteur initial a une composante selon le vecteur propre associé, la direction converge vers ce vecteur propre. La vitesse est fixée par le rapport spectral |λ2/λ1| : plus il est proche de un, plus l’erreur décroît lentement. Le quotient de Rayleigh ρ=x^T A x / x^T x estime la valeur propre, et ||Ax−ρx|| montre à quel point le vecteur courant est proche du vrai vecteur propre.

Formules

x_{k+1}=A x_k / ||A x_k||, ρ_k=(x_k^T A x_k)/(x_k^T x_k)

Si |λ1|>|λ2|, l’erreur de direction décroît à peu près comme |λ2/λ1|^k

Questions fréquentes

Qu’est-ce qui fixe la vitesse de convergence de l’itération en puissance ?: Pour une matrice diagonalisable à valeur propre dominante unique, l’erreur de direction décroît en général comme |λ₂/λ₁|ᵏ. Plus l’écart spectral est grand, plus ce rapport est petit et plus la convergence est rapide.
À quoi sert le quotient de Rayleigh ?: Quand le vecteur est proche d’un vecteur propre, ρ = xᵀ A x / xᵀ x donne une estimation naturelle de la valeur propre. Le résidu ‖Ax − ρx‖ vérifie ensuite si la paire est vraiment proche d’une paire propre.
Que se passe-t-il si deux valeurs propres ont presque le même module ?: L’écart est petit, le rapport |λ₂/λ₁| est proche de un, et les itérations oscillent longtemps entre les directions. Sur le graphe, on voit un rapprochement lent du cercle du vecteur dominant.

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