O que rege a velocidade de convergência do método da potência?

Para uma matriz diagonalizável com um único autovalor dominante, o erro de direção costuma cair como |λ₂/λ₁|ᵏ. Quanto maior a separação espectral, menor essa razão e mais rápida a convergência.

Para que serve o quociente de Rayleigh?

Quando o vetor está perto de um autovetor, ρ = xᵀ A x / xᵀ x dá uma estimativa natural do autovalor. O resíduo ‖Ax − ρx‖ verifica em seguida se o par está de fato perto de um par próprio.

E se dois autovalores tiverem quase o mesmo módulo?

A separação é pequena, a razão |λ₂/λ₁| fica perto de um e as iterações oscilam por muito tempo entre direções. No gráfico isso aparece como uma aproximação lenta ao círculo do vetor dominante.

Método da potência (autovalor)

Convergência rumo ao autovetor dominante: razão da separação espectral, quociente de Rayleigh, resíduo e iterações normalizadas.

A demonstração usa uma matriz simétrica 2D, de modo que os autovetores verdadeiros ficam visíveis. Quando a razão espectral está perto de um, a convergência desacelera; se o vetor inicial é quase ortogonal ao autovetor dominante, no começo a componente útil é muito pequena.

Gráficos

Sobre o modelo

O método da potência extrai o autovalor dominante ao multiplicar um vetor por A várias vezes e normalizá-lo. Se |λ₁| > |λ₂| e o vetor inicial tem projeção não nula nessa direção, o vetor tende ao autovetor associado a λ₁. No círculo unitário aparecem as iterações normalizadas e os eixos próprios de uma matriz simétrica 2×2. O quociente de Rayleigh ρ = xᵀ A x / xᵀ x estima o autovalor; o resíduo ‖Ax − ρx‖ mede a proximidade do par. A razão |λ₂/λ₁| explica por que a convergência às vezes é rápida e às vezes muito lenta. Variam-se λ₁, λ₂, a rotação dos eixos e o ângulo inicial.

Para quem: Álgebra linear numérica, computação científica: autovalores e método da potência.

Conceitos-chave

método da potência
autovetor dominante
quociente de Rayleigh
separação espectral
resíduo do par próprio
velocidade de convergência

Como funciona

O método da potência repete a iteração x_{k+1}=Ax_k/||Ax_k||. Se há um único autovalor de maior módulo e o vetor inicial tem componente ao longo do autovetor correspondente, a direção converge para esse autovetor. A velocidade fica fixada pela razão espectral |λ2/λ1|: quanto mais perto de um, mais devagar cai o erro. O quociente de Rayleigh ρ=x^T A x / x^T x estima o autovalor, e ||Ax−ρx|| mostra o quão perto o vetor atual está do autovetor verdadeiro.

Fórmulas principais

x_{k+1}=A x_k / ||A x_k||, ρ_k=(x_k^T A x_k)/(x_k^T x_k)

Se |λ1|>|λ2|, o erro de direção cai aproximadamente como |λ2/λ1|^k

Perguntas frequentes

O que rege a velocidade de convergência do método da potência?: Para uma matriz diagonalizável com um único autovalor dominante, o erro de direção costuma cair como |λ₂/λ₁|ᵏ. Quanto maior a separação espectral, menor essa razão e mais rápida a convergência.
Para que serve o quociente de Rayleigh?: Quando o vetor está perto de um autovetor, ρ = xᵀ A x / xᵀ x dá uma estimativa natural do autovalor. O resíduo ‖Ax − ρx‖ verifica em seguida se o par está de fato perto de um par próprio.
E se dois autovalores tiverem quase o mesmo módulo?: A separação é pequena, a razão |λ₂/λ₁| fica perto de um e as iterações oscilam por muito tempo entre direções. No gráfico isso aparece como uma aproximação lenta ao círculo do vetor dominante.

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