Почему циклы Лотки–Вольтерры такие хрупкие?

Без самоограничения жертвы орбиты нейтрально устойчивы: амплитуда задаётся начальными условиями, а не аттрактором. Добавление K и насыщающегося f(N) обычно создаёт настоящий аттрактор.

Что такое полунасыщение в Holling II?

Время обработки h ограничивает число убийств. f(N)→1/h при N→∞, половина плато при N=1/(ah). Хищник не может есть бесконечно быстро при избытке жертв.

Когда появляется предельный цикл?

В картине Розенцвейга–МакАртура рост K или более крутое насыщение может дестабилизировать сосуществование (парадокс обогащения). Тип III часто стабилизирует систему при низкой плотности жертв.

Хищник–жертва: функциональный отклик

Лотка–Вольтерра vs Holling I/II/III: насыщение охоты, ёмкость среды жертвы, нульклины и предельные циклы.

Функциональный отклик

Тип Холлинга

Логистика жертвы (конечное K)

Пресеты

Скорости и начальные

Рост жертвы r1

Ёмкость среды K36

Атака a0.1

Время обработки h0.4

Конверсия e0.7

Смертность хищника d0.45

Начальная жертва N₀14

Начальный хищник P₀8

Нульклины — ядро урока: хищник живёт только там, где f(N) достигает d/e. Насыщение типа II и большая K сдвигают вертикаль влево от горба нульклины жертвы (парадокс обогащения). Тип III почти не ест редкую жертву и часто стабилизирует ту же богатую K. Классическая LV — тип I без 1−N/K: орбиты нейтрально замкнуты, это не притягивающий цикл.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — пуск / пауза
R — сброс к N₀, P₀

Измеренные величины

Жертва N14.00

Хищник P8.00

f(N)0.897

Внутреннее равновесие(8.65, 10.23)

Период (оценка)—

Режимустойчивое сосуществование

О модели

Жертва N и хищник P: N′=rN(1−N/K)−f(N)P, P′=e f(N)P−dP. Функциональный отклик f — Holling I (линейный aN), II (насыщение aN/(1+ahN)) или III (сигмоида aN²/(1+ahN²)). Классическая Лотка–Вольтерра — предел типа I без ёмкости (K→∞) с нейтрально устойчивыми циклами. Насыщение плюс конечное K даёт фокус или предельный цикл (Розенцвейг–МакАртур). Нульклины и кривая f(N) показывают механизм.

Для кого: Экология, теоретическая биология и курсы нелинейных ОДУ про функциональный отклик.

Ключевые понятия

Функциональный отклик Холлинга
Лотка–Вольтерра
Розенцвейг–МакАртур
Предельный цикл
Нульклина
Ёмкость среды
Полунасыщение

Как это работает

Жертва N и хищник P в модели Розенцвейга–МакАртура: N′ = rN(1−N/K) − f(N)P, P′ = e f(N)P − dP. Функциональный отклик f(N) — Holling I (aN), II (насыщение aN/(1+ahN), плато 1/h, полунасыщение N=1/(ah)) или III (aN²/(1+ahN²), полунасыщение 1/√(ah)). Классическая Лотка–Вольтерра — тип I без члена 1−N/K: нейтрально устойчивые циклы. Нульклина жертвы N′=0 — кривая P = rN(1−N/K)/f(N) (без логистики P = rN/f(N)); нульклина хищника P′=0 — вертикаль f(N)=d/e. Пересечение справа от горба — устойчивый фокус; слева — предельный цикл (парадокс обогащения). Тип III часто стабилизирует ту же большую K, потому что при малом N хищник почти не охотится.

Основные формулы

N′ = r N (1 − N/K) − f(N) P

N′ = r N − f(N) P (классическая LV, без логистики)

P′ = e f(N) P − d P

f_I = a N · f_II = a N / (1 + a h N) · f_III = a N² / (1 + a h N²)

плато 1/h · полунас. II: 1/(a h) · полунас. III: 1/√(a h) · P′=0 при f(N)=d/e

Часто задаваемые вопросы

Почему циклы Лотки–Вольтерры такие хрупкие?: Без самоограничения жертвы орбиты нейтрально устойчивы: амплитуда задаётся начальными условиями, а не аттрактором. Добавление K и насыщающегося f(N) обычно создаёт настоящий аттрактор.
Что такое полунасыщение в Holling II?: Время обработки h ограничивает число убийств. f(N)→1/h при N→∞, половина плато при N=1/(ah). Хищник не может есть бесконечно быстро при избытке жертв.
Когда появляется предельный цикл?: В картине Розенцвейга–МакАртура рост K или более крутое насыщение может дестабилизировать сосуществование (парадокс обогащения). Тип III часто стабилизирует систему при низкой плотности жертв.

Близкие темы рядом (в том числе из смежных разделов) — или все 50 в «Биофизика, жидкости и геонауки».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Логистический промысел и MSY

Запустить симулятор

Logistic growth с постоянным harvest: MSY = rK/4, stable stock, unstable collapse threshold и population trajectory.

НовоеУниверситет / научные

Пищевая цепь из 3 видов (Хастингс–Пауэлл)

Запустить симулятор

x→y→z, отклики Холлинга II, логистика x; хаос при варьировании b₁ (Ecology 1991); RK4, фазовые плоскости.

НовоеШкольные

Лотка–Вольтерра

Запустить симулятор

N′ = αN−βNP, P′ = δNP−γP; фазовая плоскость RK4; точка равновесия.

НовоеУниверситет / научные

Циркадный осциллятор (Goodwin clock)

Запустить симулятор

Молекулярные часы в стиле Goodwin: задержанная отрицательная transcriptional feedback, phase lag между mRNA/protein/repressor, период и advance/delay от light pulse.

НовоеУниверситет / научные

Фармакокинетика: 1-/2-compartment

Запустить симулятор

Линейная IV PK-модель: bolus, infusion и repeated dosing; central/peripheral concentration curves, terminal half-life, AUC, Cmax/Cmin, loading dose и maintenance rate.

НовоеУниверситет / научные

Генный toggle switch

Запустить симулятор

Два взаимно подавляющих гена с Hill cooperativity: bistability между A-high/B-high, nullclines на фазовой плоскости, hysteresis при sweep индуктора и noise-driven switching.

Хищник–жертва: функциональный отклик

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Логистический промысел и MSY

Пищевая цепь из 3 видов (Хастингс–Пауэлл)

Лотка–Вольтерра

Циркадный осциллятор (Goodwin clock)

Фармакокинетика: 1-/2-compartment

Генный toggle switch

Хищник–жертва: функциональный отклик

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы