Почему циклы Лотки–Вольтерры такие хрупкие?

Без самоограничения жертвы орбиты нейтрально устойчивы: амплитуда задаётся начальными условиями, а не аттрактором. Добавление K и насыщающегося f(N) обычно создаёт настоящий аттрактор.

Что такое полунасыщение в типе II Холлинга?

Время обработки h ограничивает число атак. f(N) → 1/h при N → ∞, половина плато при N = 1/(ah). Хищник не может есть бесконечно быстро при избытке жертв.

Когда появляется предельный цикл?

В модели Розенцвейга–МакАртура рост K или более крутое насыщение может дестабилизировать сосуществование (парадокс обогащения). Тип III часто стабилизирует систему при низкой плотности жертв.

Хищник–жертва: функциональный отклик Холлинга

Лотка–Вольтерра и типы I–III Холлинга: насыщение охоты, ёмкость среды жертвы, нульклины и предельные циклы.

Функциональный отклик

Тип Холлинга

Логистика жертвы (конечное K)

Пресеты

Скорости и начальные

Рост жертвы r1

Ёмкость среды K36

Атака a0.1

Время обработки h0.4

Конверсия e0.7

Смертность хищника d0.45

Начальная жертва N₀14

Начальный хищник P₀8

Нульклины — ядро урока: хищник живёт только там, где f(N) достигает d/e. Насыщение типа II и большая K сдвигают вертикаль влево от горба нульклины жертвы (парадокс обогащения). Тип III почти не ест редкую жертву и часто стабилизирует ту же богатую K. Классическая LV — тип I без 1−N/K: орбиты нейтрально замкнуты, это не притягивающий цикл.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — пуск / пауза
R — сброс к N₀, P₀

Измеренные величины

Жертва N14.00

Хищник P8.00

f(N)0.897

Внутреннее равновесие(8.65, 10.23)

Период (оценка)—

Режимустойчивое сосуществование

О модели

Численности жертвы и хищника колеблются, а насыщение охоты меняет устойчивость сосуществования. Жертва N и хищник P: N′ = rN(1 − N/K) − f(N)P, P′ = e f(N)P − dP. Функциональный отклик f — тип I Холлинга (линейный aN), тип II (насыщение aN/(1 + ahN)) или тип III (сигмоида aN²/(1 + ahN²)). Классическая Лотка–Вольтерра — тип I без ёмкости среды (K → ∞): циклы нейтрально устойчивы, амплитуда задаётся начальными условиями. Конечное K плюс насыщение — модель Розенцвейга–МакАртура: устойчивый фокус или предельный цикл (парадокс обогащения). Нульклины и кривая f(N) показывают механизм.

Для кого: Экология и нелинейные ОДУ: функциональный отклик, нульклины, предельный цикл.

Ключевые понятия

функциональный отклик Холлинга
Лотка–Вольтерра
Розенцвейг–МакАртур
предельный цикл
нульклина
ёмкость среды
концентрация полунасыщения

Как это работает

Жертва N и хищник P в модели Розенцвейга–МакАртура: N′ = rN(1−N/K) − f(N)P, P′ = e f(N)P − dP. Функциональный отклик f(N) — тип I Холлинга (aN), тип II (насыщение aN/(1+ahN), плато 1/h, полунасыщение N=1/(ah)) или тип III (aN²/(1+ahN²), полунасыщение 1/√(ah)). Классическая Лотка–Вольтерра — тип I без члена 1−N/K: нейтрально устойчивые циклы. Нульклина жертвы N′=0 — кривая P = rN(1−N/K)/f(N) (без логистики P = rN/f(N)); нульклина хищника P′=0 — вертикаль f(N)=d/e. Пересечение справа от горба — устойчивый фокус; слева — предельный цикл (парадокс обогащения). Тип III часто стабилизирует ту же большую K, потому что при малом N хищник почти не охотится.

Основные формулы

N′ = r N (1 − N/K) − f(N) P

N′ = r N − f(N) P (классическая LV, без логистики)

P′ = e f(N) P − d P

f_I = a N · f_II = a N / (1 + a h N) · f_III = a N² / (1 + a h N²)

плато 1/h · полунас. II: 1/(a h) · полунас. III: 1/√(a h) · P′=0 при f(N)=d/e

Часто задаваемые вопросы

Почему циклы Лотки–Вольтерры такие хрупкие?: Без самоограничения жертвы орбиты нейтрально устойчивы: амплитуда задаётся начальными условиями, а не аттрактором. Добавление K и насыщающегося f(N) обычно создаёт настоящий аттрактор.
Что такое полунасыщение в типе II Холлинга?: Время обработки h ограничивает число атак. f(N) → 1/h при N → ∞, половина плато при N = 1/(ah). Хищник не может есть бесконечно быстро при избытке жертв.
Когда появляется предельный цикл?: В модели Розенцвейга–МакАртура рост K или более крутое насыщение может дестабилизировать сосуществование (парадокс обогащения). Тип III часто стабилизирует систему при низкой плотности жертв.

Близкие темы рядом (в том числе из смежных разделов) — или все 50 в «Биофизика, жидкости и геонауки».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Логистический промысел и максимально устойчивый улов

Запустить симулятор

Логистический рост с постоянным изъятием: MSY = rK/4, устойчивый запас, порог коллапса и траектория численности.

НовоеУниверситет / научные

Пищевая цепь из трёх видов (Хастингс–Пауэлл)

Запустить симулятор

x→y→z, отклики Холлинга II, логистика x; хаос при варьировании b₁; РК4, фазовые плоскости.

НовоеШкольные

Лотка–Вольтерра

Запустить симулятор

Классическая модель хищник–жертва: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Фазовая плоскость, интегрирование Рунге–Кутты, точка равновесия (γ/δ, α/β).

НовоеУниверситет / научные

Циркадные часы (Гудвин)

Запустить симулятор

Молекулярные часы: задержанная отрицательная транскрипционная обратная связь, сдвиг фаз мРНК, белка и репрессора, период и сдвиг фазы от световой вспышки.

НовоеУниверситет / научные

Фармакокинетика: одно- и двухкамерная модель

Запустить симулятор

Линейная внутривенная модель: болюс, инфузия и повторные дозы; концентрации центральной и периферической камер, терминальный период полувыведения, AUC, Cmax/Cmin, нагрузочная доза и поддерживающая скорость.

НовоеУниверситет / научные

Генный переключатель

Запустить симулятор

Два взаимно подавляющих гена с кооперативностью Хилла: бистабильность A-высокий / B-высокий, нульклины, гистерезис по индуктору и переключения шумом.

Хищник–жертва: функциональный отклик Холлинга

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Логистический промысел и максимально устойчивый улов

Пищевая цепь из трёх видов (Хастингс–Пауэлл)

Лотка–Вольтерра

Циркадные часы (Гудвин)

Фармакокинетика: одно- и двухкамерная модель

Генный переключатель

Хищник–жертва: функциональный отклик Холлинга

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы