Warum sind Lotka–Volterra-Zyklen so empfindlich?

Ohne Selbstbegrenzung der Beute sind die Bahnen neutral stabil: die Amplitude kommt aus den Anfangswerten, nicht von einem Attraktor. Endliches K und sättigendes f(N) erzeugen in der Regel einen echten Attraktor.

Was ist die Halbsättigung beim Holling-Typ II?

Die Bearbeitungszeit h begrenzt die Zahl der Angriffe. f(N) → 1/h für N → ∞, die Hälfte des Plateaus bei N = 1/(ah). Der Räuber kann bei Beuteüberschuss nicht beliebig schnell fressen.

Wann erscheint ein Grenzzyklus?

Im Rosenzweig–MacArthur-Modell kann wachsendes K oder steilere Sättigung das Zusammenleben destabilisieren (Paradoxon der Anreicherung). Typ III stabilisiert oft bei geringer Beutedichte.

Räuber-Beute: Holling-Funktionsantwort

Lotka–Volterra und Holling-Typen I–III: Sättigung der Jagd, Tragfähigkeit der Beute, Nullklinen und Grenzzyklen.

Funktionsantwort

Holling-Typ

Logistik der Beute (endliches K)

Vorlagen

Raten und Anfangswerte

Beutewachstum r1

Tragfähigkeit K36

Angriff a0.1

Bearbeitungszeit h0.4

Konversion e0.7

Räubersterblichkeit d0.45

Anfängliche Beute N₀14

Anfänglicher Räuber P₀8

Die Nullklinen sind der Kern: der Räuber lebt nur dort, wo f(N) den Wert d/e erreicht. Sättigung vom Typ II und großes K schieben die Senkrechte links vom Höcker der Beute-Nullkline (Paradoxon der Anreicherung). Typ III frisst seltene Beute kaum und stabilisiert oft dasselbe reiche K. Klassische LV ist Typ I ohne 1−N/K: die Bahnen sind neutral geschlossen, kein anziehender Zyklus.

Tastenkürzel

Leertaste / Enter — Start / Pause
R — zurück auf N₀, P₀

Gemessene Größen

Beute N14.00

Räuber P8.00

f(N)0.897

Inneres Gleichgewicht(8.65, 10.23)

Periode (Schätzung)—

Regimestabiles Zusammenleben

Zum Modell

Räuber und Beute schwanken, und die Holling-Funktionsantwort ändert die Stabilität des Zusammenlebens. Beute N und Räuber P: N′ = rN(1 − N/K) − f(N)P, P′ = e f(N)P − dP. Die Funktionsantwort f ist Holling-Typ I (linear aN), Typ II (Sättigung aN/(1 + ahN)) oder Typ III (sigmoid aN²/(1 + ahN²)). Klassische Lotka–Volterra ist Typ I ohne Tragfähigkeit (K → ∞): die Zyklen sind neutral stabil, die Amplitude kommt aus den Anfangswerten. Endliches K plus Sättigung — das Rosenzweig–MacArthur-Modell: stabiler Fokus oder Grenzzyklus (Paradoxon der Anreicherung). Nullklinen und die Kurve f(N) zeigen den Mechanismus.

Für wen: Ökologie und nichtlineare DGL: Funktionsantwort, Nullklinen, Grenzzyklus.

Wichtige Begriffe

holling-funktionsantwort
lotka–volterra
rosenzweig–macarthur
grenzzyklus
nullkline
tragfähigkeit
halbsättigungskonzentration

So funktioniert es

Beute N und Räuber P im Rosenzweig–MacArthur-Modell: N′ = rN(1−N/K) − f(N)P, P′ = e f(N)P − dP. Die Funktionsantwort f(N) ist Holling-Typ I (aN), Typ II (Sättigung aN/(1+ahN), Plateau 1/h, Halbsättigung N=1/(ah)) oder Typ III (aN²/(1+ahN²), Halbsättigung 1/√(ah)). Klassische Lotka–Volterra ist Typ I ohne den Term 1−N/K: neutral stabile Zyklen. Die Beute-Nullkline N′=0 ist die Kurve P = rN(1−N/K)/f(N) (ohne Logistik P = rN/f(N)); die Räuber-Nullkline P′=0 ist die Senkrechte f(N)=d/e. Schnitt rechts vom Höcker — stabiler Fokus; links — Grenzzyklus (Paradoxon der Anreicherung). Typ III stabilisiert oft dasselbe große K, weil der Räuber bei kleinem N kaum jagt.

Wichtige Gleichungen

N′ = r N (1 − N/K) − f(N) P

N′ = r N − f(N) P (klassische LV, ohne Logistik)

P′ = e f(N) P − d P

f_I = a N · f_II = a N / (1 + a h N) · f_III = a N² / (1 + a h N²)

Plateau 1/h · Halbsätt. II: 1/(a h) · Halbsätt. III: 1/√(a h) · P′=0 bei f(N)=d/e

Häufige Fragen

Warum sind Lotka–Volterra-Zyklen so empfindlich?: Ohne Selbstbegrenzung der Beute sind die Bahnen neutral stabil: die Amplitude kommt aus den Anfangswerten, nicht von einem Attraktor. Endliches K und sättigendes f(N) erzeugen in der Regel einen echten Attraktor.
Was ist die Halbsättigung beim Holling-Typ II?: Die Bearbeitungszeit h begrenzt die Zahl der Angriffe. f(N) → 1/h für N → ∞, die Hälfte des Plateaus bei N = 1/(ah). Der Räuber kann bei Beuteüberschuss nicht beliebig schnell fressen.
Wann erscheint ein Grenzzyklus?: Im Rosenzweig–MacArthur-Modell kann wachsendes K oder steilere Sättigung das Zusammenleben destabilisieren (Paradoxon der Anreicherung). Typ III stabilisiert oft bei geringer Beutedichte.

Verwandte Themen in der Nähe (auch aus benachbarten Bereichen) — oder alle 50 in „Biophysik, Fluide und Geowissenschaften“.

Ganze Kategorie →

NeuHochschule / Forschung

Logistische Ernte und maximaler Dauerertrag (MSY)

Simulation starten

Logistisches Wachstum mit konstanter Entnahme: MSY = rK/4, stabiler Bestand, Kollapsschwelle und Verlauf der Populationsgröße.

NeuHochschule / Forschung

Nahrungskette aus drei Arten (Hastings-Powell)

Simulation starten

x→y→z, funktionelle Reaktionen nach Holling II, logistisches x; Chaos bei Variation von b₁; RK4, Phasenebenen.

NeuSchule

Lotka-Volterra

Simulation starten

Klassisches Räuber-Beute-Modell: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Phasenebene, Integration nach Runge-Kutta, Gleichgewichtspunkt (γ/δ, α/β).

NeuHochschule / Forschung

Circadiane Uhr (Goodwin)

Simulation starten

Molekulare Uhr: verzögerte negative transkriptionelle Rückkopplung, Phasenversatz von mRNA, Protein und Repressor, Periode und Phasenverschiebung durch einen Lichtblitz.

NeuHochschule / Forschung

Pharmakokinetik: Ein- und Zweikompartimentmodell

Simulation starten

Lineares intravenöses Modell: Bolus, Infusion und wiederholte Gaben; Konzentrationen von zentralem und peripherem Kompartiment, terminale Halbwertszeit, AUC, Cmax/Cmin, Aufsättigungsdosis und Erhaltungsrate.

NeuHochschule / Forschung

Genetischer Schalter

Simulation starten

Zwei wechselseitig reprimierende Gene mit Hill-Kooperativität: Bistabilität A-hoch / B-hoch, Nullklinen, Hysterese über den Induktor und Umschalten durch Rauschen.

Räuber-Beute: Holling-Funktionsantwort

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Logistische Ernte und maximaler Dauerertrag (MSY)

Nahrungskette aus drei Arten (Hastings-Powell)

Lotka-Volterra

Circadiane Uhr (Goodwin)

Pharmakokinetik: Ein- und Zweikompartimentmodell

Genetischer Schalter

Räuber-Beute: Holling-Funktionsantwort

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen