¿Por qué los ciclos de Lotka–Volterra son tan frágiles?

Sin autolimitación de la presa, las órbitas son de estabilidad neutra: la amplitud la fijan las condiciones iniciales, no un atractor. Añadir K y un f(N) que se satura suele crear un atractor de verdad.

¿Qué es la semisaturación en el tipo II de Holling?

El tiempo de manejo h limita el número de ataques. f(N) → 1/h cuando N → ∞; la mitad de la meseta está en N = 1/(ah). El depredador no puede comer a velocidad infinita aunque sobren presas.

¿Cuándo aparece un ciclo límite?

En el modelo de Rosenzweig–MacArthur, subir K o hacer más empinada la saturación puede desestabilizar la coexistencia (paradoja del enriquecimiento). El tipo III a menudo estabiliza el sistema a baja densidad de presa.

Depredador-presa: respuesta funcional de Holling

Lotka–Volterra y tipos I–III de Holling: saturación de la caza, capacidad de carga de la presa, nulclinas y ciclos límite.

Respuesta funcional

Tipo de Holling

Logística de la presa (K finito)

Plantillas

Tasas y valores iniciales

Crecimiento de la presa r1

Capacidad de carga K36

Ataque a0.1

Tiempo de manejo h0.4

Conversión e0.7

Mortalidad del depredador d0.45

Presa inicial N₀14

Depredador inicial P₀8

Las nulclinas son el núcleo de la lección: el depredador vive solo donde f(N) alcanza d/e. La saturación de tipo II y un K grande desplazan la vertical a la izquierda del lomo de la nulclina de la presa (paradoja del enriquecimiento). El tipo III casi no come presa escasa y a menudo estabiliza el mismo K rico. El LV clásico es tipo I sin 1−N/K: las órbitas son neutras y cerradas, no un ciclo atractor.

Atajos de teclado

Espacio / Enter: reproducir o pausar
R: restablecer a N₀, P₀

Magnitudes medidas

Presa N14.00

Depredador P8.00

f(N)0.897

Equilibrio interior(8.65, 10.23)

Período (estimación)—

Régimencoexistencia estable

Sobre el modelo

Las abundancias de la presa y del depredador oscilan, y la saturación de la caza cambia la estabilidad de la coexistencia. Presa N y depredador P: N′ = rN(1 − N/K) − f(N)P, P′ = e f(N)P − dP. La respuesta funcional f es de Holling tipo I (lineal aN), tipo II (saturación aN/(1 + ahN)) o tipo III (sigmoide aN²/(1 + ahN²)). El Lotka–Volterra clásico es el tipo I sin capacidad de carga (K → ∞): los ciclos son de estabilidad neutra y la amplitud la fijan las condiciones iniciales. Un K finito más saturación da el modelo de Rosenzweig–MacArthur: un foco estable o un ciclo límite (paradoja del enriquecimiento). Las nulclinas y la curva f(N) muestran el mecanismo.

Para quién: Ecología y EDO no lineales: respuesta funcional, nulclinas, ciclo límite.

Conceptos clave

respuesta funcional de Holling
Lotka–Volterra
Rosenzweig–MacArthur
ciclo límite
nulclina
capacidad de carga
concentración de semisaturación

Cómo funciona

Presa N y depredador P en el modelo de Rosenzweig–MacArthur: N′ = rN(1−N/K) − f(N)P, P′ = e f(N)P − dP. La respuesta funcional f(N) es de Holling tipo I (aN), tipo II (saturación aN/(1+ahN), meseta 1/h, semisaturación N=1/(ah)) o tipo III (aN²/(1+ahN²), semisaturación 1/√(ah)). El Lotka–Volterra clásico es el tipo I sin el término 1−N/K: ciclos de estabilidad neutra. La nulclina de la presa N′=0 es la curva P = rN(1−N/K)/f(N) (sin logística, P = rN/f(N)); la del depredador P′=0 es la vertical f(N)=d/e. La intersección a la derecha del lomo es un foco estable; a la izquierda, un ciclo límite (paradoja del enriquecimiento). El tipo III a menudo estabiliza el mismo K grande porque, a N pequeño, el depredador casi no caza.

Fórmulas principales

N′ = r N (1 − N/K) − f(N) P

N′ = r N − f(N) P (LV clásico, sin logística)

P′ = e f(N) P − d P

f_I = a N · f_II = a N / (1 + a h N) · f_III = a N² / (1 + a h N²)

meseta 1/h · semisat. II: 1/(a h) · semisat. III: 1/√(a h) · P′=0 cuando f(N)=d/e

Preguntas frecuentes

¿Por qué los ciclos de Lotka–Volterra son tan frágiles?: Sin autolimitación de la presa, las órbitas son de estabilidad neutra: la amplitud la fijan las condiciones iniciales, no un atractor. Añadir K y un f(N) que se satura suele crear un atractor de verdad.
¿Qué es la semisaturación en el tipo II de Holling?: El tiempo de manejo h limita el número de ataques. f(N) → 1/h cuando N → ∞; la mitad de la meseta está en N = 1/(ah). El depredador no puede comer a velocidad infinita aunque sobren presas.
¿Cuándo aparece un ciclo límite?: En el modelo de Rosenzweig–MacArthur, subir K o hacer más empinada la saturación puede desestabilizar la coexistencia (paradoja del enriquecimiento). El tipo III a menudo estabiliza el sistema a baja densidad de presa.

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