Pourquoi les cycles de Lotka–Volterra sont-ils si fragiles ?

Sans auto-limitation de la proie, les orbites sont neutrement stables : l’amplitude est fixée par la condition initiale, pas par un attracteur. L’ajout de K et d’un f(N) saturant crée en général un vrai attracteur.

Qu’est-ce que la demi-saturation du type II de Holling ?

Le temps de manipulation h limite le nombre d’attaques. f(N) → 1/h lorsque N → ∞, la moitié du plateau à N = 1/(ah). Le prédateur ne peut pas manger infiniment vite, même si les proies abondent.

Quand apparaît un cycle limite ?

Dans le modèle de Rosenzweig–MacArthur, augmenter K ou raidir la saturation peut déstabiliser la coexistence (paradoxe de l’enrichissement). Le type III stabilise souvent le système à faible densité de proies.

Prédateur–proie : réponse fonctionnelle de Holling

Lotka–Volterra et types I–III de Holling : saturation de la chasse, capacité de charge de la proie, isoclines et cycles limites.

Réponse fonctionnelle

Type de Holling

Logistique de la proie (K fini)

Cas

Vitesses et conditions initiales

Croissance de la proie r1

Capacité de charge K36

Taux d’attaque a0.1

Temps de manipulation h0.4

Conversion e0.7

Mortalité du prédateur d0.45

Proie initiale N₀14

Prédateur initial P₀8

Les isoclines sont le cœur de la leçon : le prédateur ne survit que là où f(N) atteint d/e. La saturation de type II et un grand K décalent la verticale à gauche de la bosse de l’isocline de la proie (paradoxe de l’enrichissement). Le type III mange à peine une proie rare et stabilise souvent le même K riche. Le LV classique est le type I sans 1−N/K : les orbites sont fermées au sens neutre, ce n’est pas un cycle attracteur.

Raccourcis clavier

Espace / Entrée — lecture / pause
R — réinitialiser à N₀, P₀

Mesures

Proie N14.00

Prédateur P8.00

f(N)0.897

Équilibre intérieur(8.65, 10.23)

Période (estimation)—

Régimecoexistence stable

À propos du modèle

La réponse fonctionnelle de Holling change la stabilité de la coexistence : les effectifs de la proie et du prédateur oscillent, et la saturation de la chasse décide du régime. Proie N et prédateur P : N′ = rN(1 − N/K) − f(N)P, P′ = e f(N)P − dP. La réponse fonctionnelle f est de type I de Holling (linéaire aN), de type II (saturation aN/(1 + ahN)) ou de type III (sigmoïde aN²/(1 + ahN²)). Le Lotka–Volterra classique est le type I sans capacité de charge (K → ∞) : les cycles sont neutrement stables, l’amplitude est fixée par les conditions initiales. Un K fini plus la saturation — modèle de Rosenzweig–MacArthur : foyer stable ou cycle limite (paradoxe de l’enrichissement). Les isoclines et la courbe f(N) montrent le mécanisme.

Public : Écologie et EDO non linéaires : réponse fonctionnelle, isoclines, cycle limite.

Notions clés

réponse fonctionnelle de Holling
Lotka–Volterra
Rosenzweig–MacArthur
cycle limite
isocline
capacité de charge
concentration de demi-saturation

Comment ça marche

Proie N et prédateur P dans le modèle de Rosenzweig–MacArthur : N′ = rN(1−N/K) − f(N)P, P′ = e f(N)P − dP. La réponse fonctionnelle f(N) est de type I de Holling (aN), de type II (saturation aN/(1+ahN), plateau 1/h, demi-saturation N=1/(ah)) ou de type III (aN²/(1+ahN²), demi-saturation 1/√(ah)). Le Lotka–Volterra classique est le type I sans terme 1−N/K : cycles neutrement stables. L’isocline de la proie N′=0 est la courbe P = rN(1−N/K)/f(N) (sans logistique P = rN/f(N)) ; l’isocline du prédateur P′=0 est la verticale f(N)=d/e. Une intersection à droite de la bosse — foyer stable ; à gauche — cycle limite (paradoxe de l’enrichissement). Le type III stabilise souvent le même grand K, parce qu’à petit N le prédateur chasse à peine.

Formules

N′ = r N (1 − N/K) − f(N) P

N′ = r N − f(N) P (LV classique, sans logistique)

P′ = e f(N) P − d P

f_I = a N · f_II = a N / (1 + a h N) · f_III = a N² / (1 + a h N²)

plateau 1/h · demi-sat. II : 1/(a h) · demi-sat. III : 1/√(a h) · P′=0 lorsque f(N)=d/e

Questions fréquentes

Pourquoi les cycles de Lotka–Volterra sont-ils si fragiles ?: Sans auto-limitation de la proie, les orbites sont neutrement stables : l’amplitude est fixée par la condition initiale, pas par un attracteur. L’ajout de K et d’un f(N) saturant crée en général un vrai attracteur.
Qu’est-ce que la demi-saturation du type II de Holling ?: Le temps de manipulation h limite le nombre d’attaques. f(N) → 1/h lorsque N → ∞, la moitié du plateau à N = 1/(ah). Le prédateur ne peut pas manger infiniment vite, même si les proies abondent.
Quand apparaît un cycle limite ?: Dans le modèle de Rosenzweig–MacArthur, augmenter K ou raidir la saturation peut déstabiliser la coexistence (paradoxe de l’enrichissement). Le type III stabilise souvent le système à faible densité de proies.

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