Полуклассические уровни для произвольного V(x): гармоника, квартичный потенциал, Морзе, двойная и прямоугольная ямы. Квантование ∫√(2m(E−V)) dx = (n+½)πℏ; сравнение с точной лестницей ℏω(n+½).
О модели
Приближение ВКБ и правило Бора–Зоммерфельда задают полуклассические энергии связанных состояний в одномерном потенциале V(x): ∫ √(2m(E−V)) dx = (n+½)πħ между классическими точками поворота. Встроены гармоническая, квартичная, Морзе, двухъямная, асимметричная и прямоугольная ямы. Каждое ВКБ-значение находится бисекцией по действию; для гармоники можно сравнить с точной лестницей ħω(n+½). Метод предполагает гладкий медленно меняющийся потенциал, простую структуру точек поворота и стандартную сшивку Маслова с членом +½. При сильном ангармонизме или туннельном расщеплении в двойной яме лестница ВКБ расходится с точными уровнями.
Для кого: Продвинутый курс квантовой механики и математической физики: полуклассика и условия квантования.
Ключевые понятия
приближение ВКБ
квантование Бора–Зоммерфельда
интеграл действия
точки поворота
полуклассическая энергия
индекс Маслова
Как это работает
Условие квантования Бора–Зоммерфельда / ВКБ: ∫ √(2m(E−V)) dx = (n+½)πħ между точками поворота. Член +½ — индекс Маслова от сшивки с функциями Эйри. Для гармоники равенство даёт точные E_n = ħω(n+½); для Морзе, квартичного и двойного потенциала совпадение только асимптотическое. На экране V(x), классические точки поворота и сравнение лестниц.
Часто задаваемые вопросы
Почему справа (n+½)πħ, а не nπħ?
Сшивка ВКБ-волн с решениями Эйри у каждой мягкой точки поворота даёт фазу π/4 (индекс Маслова). Две точки поворота добавляют ½ к целому n, откуда ∫ p dx = (n+½)πħ. Жёсткие стенки (бесконечная яма) меняют сшивку и смещение — частая путаница при смешении формул.
Когда ВКБ точен для гармонического осциллятора?
Для V(x) = ½ m ω² x² условие ВКБ с членом +½ в точности воспроизводит E_n = ħω(n+½). Это особенность квадратичной ямы; для квартичного потенциала, Морзе или двойной ямы ВКБ лишь асимптотичен при больших n.
Учитывает ли ВКБ туннельное расщепление в двойной яме?
Простое одноямное условие Бора–Зоммерфельда не даёт экспоненциально малого расщепления чётных и нечётных уровней. Нужны инстантонные или связанные двухъямные расширения ВКБ. Здесь двойная яма иллюстрирует обычное условие на действие, а не полный расчёт туннельного мультиплета.