Semiklassische Niveaus für beliebiges V(x): harmonisch, quartisch, Morse, Doppelmulde und Kasten. Quantisierung ∫√(2m(E−V)) dx = (n+½)πℏ; Vergleich mit der exakten Leiter ℏω(n+½).
Zum Modell
Die WKB-Näherung und die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung bestimmen die semiklassischen Energien gebundener Zustände in einem eindimensionalen Potential V(x): ∫ √(2m(E−V)) dx = (n+½)πħ zwischen den klassischen Umkehrpunkten. Eingebaut sind harmonische, quartische, Morse-, Doppelmulden-, asymmetrische und Kastenpotentiale. Jeder WKB-Wert wird durch Intervallhalbierung über die Wirkung bestimmt; beim harmonischen Fall kann man mit der exakten Leiter ħω(n+½) vergleichen. Das Verfahren setzt ein glattes, langsam veränderliches Potential, eine einfache Umkehrpunktstruktur und den üblichen Maslov-Anschluss mit dem Glied +½ voraus. Bei starker Anharmonizität oder Tunnelaufspaltung in der Doppelmulde weicht die WKB-Leiter von den exakten Niveaus ab.
Für wen: Fortgeschrittene Quantenmechanik und mathematische Physik: Semiklassik und Quantisierungsbedingungen.
Wichtige Begriffe
WKB-Näherung
Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
Wirkungsintegral
Umkehrpunkte
semiklassische Energie
Maslov-Index
So funktioniert es
Quantisierungsbedingung nach Bohr-Sommerfeld / WKB: ∫ √(2m(E−V)) dx = (n+½)πħ zwischen den Umkehrpunkten. Das Glied +½ ist der Maslov-Index vom Anschluss an die Airy-Funktionen. Beim harmonischen Oszillator liefert die Gleichheit die exakten E_n = ħω(n+½); bei Morse, quartischem und Doppelmuldenpotential ist die Übereinstimmung nur asymptotisch. Auf dem Bildschirm V(x), die klassischen Umkehrpunkte und der Vergleich der Leitern.
Häufige Fragen
Warum steht rechts (n+½)πħ und nicht nπħ?
Der Anschluss der WKB-Wellen an die Airy-Lösungen an jedem weichen Umkehrpunkt liefert die Phase π/4 (Maslov-Index). Zwei Umkehrpunkte addieren ½ zum ganzen n, daher ∫ p dx = (n+½)πħ. Harte Wände (unendlicher Kasten) ändern Anschluss und Versatz — eine häufige Verwechslung, wenn man die Formeln mischt.
Wann ist WKB für den harmonischen Oszillator exakt?
Für V(x) = ½ m ω² x² reproduziert die WKB-Bedingung mit dem Glied +½ genau E_n = ħω(n+½). Das ist eine Besonderheit des quadratischen Topfes; beim quartischen Potential, bei Morse oder in der Doppelmulde ist WKB nur asymptotisch für große n.
Erfasst WKB die Tunnelaufspaltung in der Doppelmulde?
Die einfache Einmulden-Bedingung nach Bohr-Sommerfeld liefert nicht die exponentiell kleine Aufspaltung gerader und ungerader Niveaus. Dazu braucht man Instanton- oder gekoppelte Zwei-Mulden-Erweiterungen von WKB. Hier zeigt die Doppelmulde die gewöhnliche Wirkungsbedingung, nicht die volle Rechnung des Tunnelmultipletts.