Теплоёмкость при постоянном объёме C_V твёрдого тела показывает, сколько тепла нужно для повышения температуры. Классическая теорема о равнораспределении даёт C_V = 3R на моль (закон Дюлонга–Пти) при любой T, но опыт показывает C_V → 0 при T → 0 — ключевой успех квантовой статистики. Эйнштейн (1907): 3N независимых квантовых осцилляторов с одной частотой ω_E, C_V = 3R(Θ_E/T)² e^{Θ_E/T}/(e^{Θ_E/T}−1)², Θ_E = ℏω_E/k_B — экспоненциальное «замораживание» на низких T, но слишком быстрый выход к 3R. Дебай (1912): сплошная среда акустических фононов с отсечкой ω_D (Θ_D = ℏω_D/k_B). Точная мольная C_V = 9R(T/Θ_D)³ ∫₀^{Θ_D/T} u⁴ e^u/(e^u−1)² du; при низких T C_V ≈ (12π⁴/5)R(T/Θ_D)³ (закон T³), при высоких C_V → 3R. Симулятор строит кривые Дебая и Эйнштейна, асимптоту T³, уровень 3R и значения в точке T.
Для кого: Студенты физики твёрдого тела или физической химии после фононов и перед опытами по теплоёмкости.
Ключевые понятия
Модель Дебая
Модель Эйнштейна
Теплоёмкость C_V
Температура Дебая
Закон Дюлонга–Пти
Закон T³
Плотность состояний фононов
Как это работает
Дебай:C_V = 9R(T/Θ_D)³ ∫₀^{Θ_D/T} u⁴e^u/(e^u−1)² du — при T ≪ Θ_D закон T³(12π⁴/5)R(T/Θ_D)³, при T ≫ Θ_D → 3R (Дюлонг–Пти). Эйнштейн:C_V = 3R(Θ_E/T)²e^{Θ_E/T}/(e^{Θ_E/T}−1)² (одна частота). Пунктир 3R, голубая T³-асимптота, полоса T ≲ Θ_D/10. Пресеты Cu, Pb, алмаз.
Часто задаваемые вопросы
Почему C_V обращается в ноль при T → 0?
У квантовых осцилляторов дискретные уровни; при низкой T k_B T недостаточно для возбуждения фононов. Классические 3R этому противоречат.
Чем Θ_D отличается от Θ_E?
Θ_E задаёт одну частоту всех осцилляторов Эйнштейна. Θ_D — масштаб отсечки спектра акустических мод Дебая, связан с максимальной частотой фононов и упругими константами.
Когда справедлив закон T³?
При T ≪ Θ_D, когда важны только длинноволновые акустические моды. Грубо при T < Θ_D/10; на графике эта область подсвечена.
Почему Дебай лучше Эйнштейна для реальных кристаллов?
В кристалле распределение частот фононов (акустические и оптические ветви). Одной частоты Эйнштейна мало для одновременного T³ на низких T и плавного выхода к 3R; континуум Дебая — хорошее первое приближение для моноатомных решёток.