Níveis semiclássicos para um V(x) arbitrário: harmônico, potencial quártico, Morse, poço duplo e retangular. Quantização ∫√(2m(E−V)) dx = (n+½)πℏ; comparação com a escada exata ℏω(n+½).
Sobre o modelo
A aproximação WKB e a regra de Bohr–Sommerfeld fixam as energias semiclássicas dos estados ligados num potencial unidimensional V(x): ∫ √(2m(E−V)) dx = (n+½)πħ entre os pontos de inversão clássicos. Há poços harmônico, quártico, de Morse, de dois poços, assimétrico e retangular. Cada valor WKB encontra-se por bisseção sobre a ação; no harmônico pode-se comparar com a escada exata ħω(n+½). O método supõe um potencial suave que muda devagar, uma estrutura simples de pontos de inversão e a conexão padrão de Maslov com o termo +½. Com anarmonicidade forte ou desdobramento por tunelamento no poço duplo, a escada WKB se afasta dos níveis exatos.
Para quem: Curso avançado de mecânica quântica e física matemática: semiclássica e condições de quantização.
Conceitos-chave
aproximação WKB
quantização de Bohr–Sommerfeld
integral de ação
pontos de inversão
energia semiclássica
índice de Maslov
Como funciona
Condição de quantização de Bohr–Sommerfeld / WKB: ∫ √(2m(E−V)) dx = (n+½)πħ entre os pontos de inversão. O termo +½ é o índice de Maslov da conexão com as funções de Airy. No harmônico a igualdade dá os E_n = ħω(n+½) exatos; para Morse, o quártico e o potencial duplo o acordo é só assintótico. Na tela: V(x), os pontos de inversão clássicos e a comparação das escadas.
Perguntas frequentes
Por que à direita aparece (n+½)πħ e não nπħ?
A conexão das ondas WKB com as soluções de Airy em cada ponto de inversão suave contribui uma fase π/4 (índice de Maslov). Dois pontos de inversão somam ½ ao inteiro n, de onde ∫ p dx = (n+½)πħ. Paredes rígidas (poço infinito) mudam a conexão e o deslocamento — confusão frequente ao misturar fórmulas.
Quando o WKB é exato para o oscilador harmônico?
Para V(x) = ½ m ω² x² a condição WKB com o termo +½ reproduz exatamente E_n = ħω(n+½). Isso é próprio do poço quadrático; para o potencial quártico, Morse ou o poço duplo o WKB só é assintótico a n grande.
O WKB leva em conta o desdobramento por tunelamento no poço duplo?
A condição simples de um só poço de Bohr–Sommerfeld não dá o desdobramento exponencialmente pequeno dos níveis pares e ímpares. São necessárias extensões instantônicas ou de dois poços acoplados. Aqui o poço duplo ilustra a condição ordinária sobre a ação, não o cálculo completo do desdobramento por tunelamento.