Niveles semiclásicos para un V(x) arbitrario: armónico, potencial cuártico, Morse, pozo doble y rectangular. Cuantización ∫√(2m(E−V)) dx = (n+½)πℏ; comparación con la escalera exacta ℏω(n+½).
Sobre el modelo
La aproximación WKB y la regla de Bohr–Sommerfeld fijan las energías semiclásicas de los estados ligados en un potencial unidimensional V(x): ∫ √(2m(E−V)) dx = (n+½)πħ entre los puntos de retorno clásicos. Hay pozos armónico, cuártico, de Morse, de dos pozos, asimétrico y rectangular. Cada valor WKB se halla por bisección sobre la acción; en el armónico se puede comparar con la escalera exacta ħω(n+½). El método supone un potencial suave que cambia despacio, una estructura simple de puntos de retorno y el empalme estándar de Maslov con el término +½. Con anarmonicidad fuerte o desdoblamiento túnel en el pozo doble, la escalera WKB se aparta de los niveles exactos.
Para quién: Curso avanzado de mecánica cuántica y física matemática: semiclásica y condiciones de cuantización.
Conceptos clave
aproximación WKB
cuantización de Bohr–Sommerfeld
integral de acción
puntos de retorno
energía semiclásica
índice de Maslov
Cómo funciona
Condición de cuantización de Bohr–Sommerfeld / WKB: ∫ √(2m(E−V)) dx = (n+½)πħ entre los puntos de retorno. El término +½ es el índice de Maslov del empalme con las funciones de Airy. En el armónico la igualdad da los E_n = ħω(n+½) exactos; para Morse, el cuártico y el potencial doble el acuerdo es solo asintótico. En pantalla: V(x), los puntos de retorno clásicos y la comparación de escaleras.
Preguntas frecuentes
¿Por qué a la derecha aparece (n+½)πħ y no nπħ?
El empalme de las ondas WKB con las soluciones de Airy en cada punto de retorno blando aporta una fase π/4 (índice de Maslov). Dos puntos de retorno suman ½ al entero n, de donde ∫ p dx = (n+½)πħ. Las paredes duras (pozo infinito) cambian el empalme y el corrimiento — una confusión frecuente al mezclar fórmulas.
¿Cuándo es exacto el WKB para el oscilador armónico?
Para V(x) = ½ m ω² x² la condición WKB con el término +½ reproduce exactamente E_n = ħω(n+½). Eso es propio del pozo cuadrático; para el potencial cuártico, Morse o el pozo doble el WKB solo es asintótico a n grande.
¿Toma en cuenta el WKB el desdoblamiento túnel en el pozo doble?
La condición simple de un solo pozo de Bohr–Sommerfeld no da el desdoblamiento exponencialmente pequeño de los niveles pares e impares. Hacen falta extensiones instantónicas o de dos pozos acoplados. Aquí el pozo doble ilustra la condición ordinaria sobre la acción, no el cálculo completo del multiplete túnel.