Почему пакет когерентного состояния не расплывается, как свободный гауссиан?

В гармоническом осцилляторе уровни эквидистантны, поэтому относительные фазы компонент с разными n возвращаются каждый период. Когерентное состояние — гауссиан минимальной неопределённости с шириной основного состояния; возвращающий потенциал держит σ = 1/√2, пока центр осциллирует. В свободном пространстве такого потенциала нет, и пакет расплывается.

Действительно ли ⟨x⟩(t) в точности классическое?

Для когерентного состояния в чисто гармонической яме теорема Эренфеста даёт замкнутые уравнения для ⟨x⟩ и ⟨p⟩, совпадающие с законами Ньютона, поэтому ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) совпадает с классической орбитой. Ангармонизм заставил бы квантовые средние отклоняться от одной классической траектории.

Что будет при очень малом |α|?

При |α| → 0 состояние стремится к основному |0⟩: центр в начале координат, |ψ|² — вакуумный гауссиан. Конечное |α| лишь смещает тот же по форме пакет по большей классической эллипсе; порога, где движение «внезапно становится классическим», нет.

Когерентное состояние гармонического осциллятора

Гауссов пакет когерентного состояния |α⟩ в одномерной гармонической яме: ширина σ = 1/√2 постоянна, центр движется по классической орбите ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α).

О модели

Когерентное состояние |α⟩ в одномерном квантовом гармоническом осцилляторе — гауссов пакет фиксированной ширины σ = 1/√2 (в единицах ħ = m = ω = 1), чей центр следует классической орбите ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α). Рядом — точка в фазовом пространстве, плотность |ψ(x,t)|² и трасса ⟨x⟩(t). Модель — чистое когерентное состояние в идеальной гармонической яме: без ангармонизма, декогеренции и сжатия. Параметры |α| и φ_α задают радиус орбиты и начальную фазу; форма пакета не расплывается, среднее следует классическому гармоническому движению.

Для кого: Квантовая механика и квантовая оптика бакалавриата и начала магистратуры: когерентные состояния и классический предел осциллятора.

Ключевые понятия

когерентное состояние
гармонический осциллятор
гауссов волновой пакет
среднее значение
классическая орбита
фазовое пространство

Как это работает

Когерентное состояние |α⟩ — гауссиан ширины основного состояния σ = 1/√2. Центр пакета движется по ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α); в фазовом пространстве это окружность радиуса |α|. Эквидистантность уровней ħω(n+½) не даёт расплывания. На экране |ψ(x,t)|², маркер в фазовой плоскости и график ⟨x⟩(t).

Часто задаваемые вопросы

Почему пакет когерентного состояния не расплывается, как свободный гауссиан?: В гармоническом осцилляторе уровни эквидистантны, поэтому относительные фазы компонент с разными n возвращаются каждый период. Когерентное состояние — гауссиан минимальной неопределённости с шириной основного состояния; возвращающий потенциал держит σ = 1/√2, пока центр осциллирует. В свободном пространстве такого потенциала нет, и пакет расплывается.
Действительно ли ⟨x⟩(t) в точности классическое?: Для когерентного состояния в чисто гармонической яме теорема Эренфеста даёт замкнутые уравнения для ⟨x⟩ и ⟨p⟩, совпадающие с законами Ньютона, поэтому ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) совпадает с классической орбитой. Ангармонизм заставил бы квантовые средние отклоняться от одной классической траектории.
Что будет при очень малом |α|?: При |α| → 0 состояние стремится к основному |0⟩: центр в начале координат, |ψ|² — вакуумный гауссиан. Конечное |α| лишь смещает тот же по форме пакет по большей классической эллипсе; порога, где движение «внезапно становится классическим», нет.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 65 в «Химия».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Собственные состояния потенциальной ямы

Запустить симулятор

Стационарные ψ_n и |ψ_n|²: бесконечная прямоугольная яма или гармонический осциллятор; фаза e^{−iE_n t/ℏ} (ℏ = 1).

НовоеУниверситет / научные

Функция Вигнера

Запустить симулятор

Квазивероятность W(x, p) в фазовом пространстве для гауссова одномодового состояния: когерентное |α⟩, смещённое сжатое D(α)S(ξ)|0⟩ и тепловое. Эллипс 1σ поворачивается на половину фазы сжатия и сжимается ниже вакуумного предела по одной квадратуре.

НовоеШкольные

Частица в потенциальной яме

Запустить симулятор

Суперпозиция состояний n = 1 и n = 2: эволюция |Ψ|² во времени и среднее ⟨E⟩ (модельные единицы).

НовоеУниверситет / научные

Водородный атом: |ψ|²

Запустить симулятор

Z = 1, атомные единицы: |R_nl|² × |Y_lm|² в плоскости xz для учебных состояний n, ℓ.

НовоеУниверситет / научные

Гауссов волновой пакет

Запустить симулятор

Свободное расплывание: ширина σ(t) из дисперсии при ℏ = m = 1; неопределённость координаты и импульса.

НовоеУниверситет / научные

ВКБ и правило Бора–Зоммерфельда

Запустить симулятор

Полуклассические уровни для произвольного V(x): гармоника, квартичный потенциал, Морзе, двойная и прямоугольная ямы. Квантование ∫√(2m(E−V)) dx = (n+½)πℏ; сравнение с точной лестницей ℏω(n+½).

Когерентное состояние гармонического осциллятора

О модели

Как это работает

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Собственные состояния потенциальной ямы

Функция Вигнера

Частица в потенциальной яме

Водородный атом: |ψ|²

Гауссов волновой пакет

ВКБ и правило Бора–Зоммерфельда

Когерентное состояние гармонического осциллятора

О модели

Как это работает

Часто задаваемые вопросы